Номер 54, страница 12, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Мгновенная и средняя скорости - номер 54, страница 12.

Условие.

54. H На пути велосипедиста, движущегося по прямой дороге со скоростью 10 км/ч в течение 1 ч, оказалось круглое озеро диаметром 500 м. Он объехал половину озера по берегу со скоростью 8 км/ч и продолжил движение в прежнем направлении. Определите среднюю путевую скорость и среднюю скорость велосипедиста к моменту, когда он закончил объезжать озеро.

Решение.

Дано:

Скорость на первом участке $v_1 = 10 \text{ км/ч}$

Время движения на первом участке $t_1 = 1 \text{ ч}$

Диаметр озера $d = 500 \text{ м}$

Скорость на втором участке $v_2 = 8 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:
$v_1 = 10 \text{ км/ч} = 10 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{9} \text{ м/с} \approx 2.78 \text{ м/с}$
$t_1 = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$
$d = 500 \text{ м}$
$v_2 = 8 \text{ км/ч} = 8 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{20}{9} \text{ м/с} \approx 2.22 \text{ м/с}$

Найти:

Среднюю путевую скорость $v_{ср.путь}$

Среднюю скорость (модуль вектора средней скорости) $v_{ср}$

Решение:

Для удобства вычислений переведем диаметр озера в километры: $d = 500 \text{ м} = 0.5 \text{ км}$. Расчеты будем вести в км и часах.

Весь путь велосипедиста состоит из двух участков: прямолинейное движение до озера и движение по дуге окружности (половина берега озера).

Средняя путевая скорость

Средняя путевая скорость вычисляется по формуле: $v_{ср.путь} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ - весь пройденный путь, а $t_{общ}$ - все время движения.

1. Найдем путь и время для каждого участка.

Участок 1 (прямая дорога):

Путь: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 10 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Время: $t_1 = 1 \text{ ч}$.

Участок 2 (берег озера):

Велосипедист объехал половину озера, значит, путь равен половине длины окружности: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \pi d = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 0.5 \text{ км} = \frac{\pi}{4} \text{ км}$.

Время движения по берегу: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{\pi/4 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = \frac{\pi}{32} \text{ ч}$.

2. Найдем общий путь и общее время.

Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 10 + \frac{\pi}{4} \text{ км}$.

Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 1 + \frac{\pi}{32} \text{ ч}$.

3. Рассчитаем среднюю путевую скорость.

$v_{ср.путь} = \frac{10 + \pi/4}{1 + \pi/32} \approx \frac{10 + 0.7854}{1 + 0.0982} = \frac{10.7854}{1.0982} \approx 9.82 \text{ км/ч}$.

Ответ: Средняя путевая скорость велосипедиста составляет примерно $9.82 \text{ км/ч}$.

Средняя скорость

Средняя скорость (точнее, модуль вектора средней скорости) вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{|\vec{r}_{общ}|}{t_{общ}}$, где $|\vec{r}_{общ}|$ - модуль вектора полного перемещения.

1. Найдем вектор полного перемещения.

Перемещение на первом участке равно пройденному пути, т.к. движение прямолинейное: $|\vec{r}_1| = S_1 = 10 \text{ км}$.

Перемещение на втором участке (объезд половины озера) равно диаметру озера, так как велосипедист оказался на противоположной точке берега: $|\vec{r}_2| = d = 0.5 \text{ км}$.

По условию, после объезда озера велосипедист продолжил движение в прежнем направлении. Это означает, что векторы перемещения $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$ сонаправлены. Поэтому модуль общего перемещения равен сумме их модулей:

$|\vec{r}_{общ}| = |\vec{r}_1| + |\vec{r}_2| = 10 \text{ км} + 0.5 \text{ км} = 10.5 \text{ км}$.

2. Рассчитаем среднюю скорость.

Общее время движения было найдено ранее: $t_{общ} = 1 + \frac{\pi}{32} \text{ ч}$.

$v_{ср} = \frac{|\vec{r}_{общ}|}{t_{общ}} = \frac{10.5}{1 + \pi/32} \approx \frac{10.5}{1.0982} \approx 9.56 \text{ км/ч}$.

Ответ: Средняя скорость (модуль вектора средней скорости) велосипедиста составляет примерно $9.56 \text{ км/ч}$.