Номер 47, страница 11, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 47, страница 11.

Условие.

47. Капли дождя падают вертикально со скоростью $v_1$. С какой максимальной скоростью $v_{max}$ должен двигаться человек ростом $\text{h}$, несущий над собой зонт диаметром $\text{D}$, чтобы его одежда оставалась сухой? При ходьбе человек наклоняет зонт.

Решение.

Дано:

$v_1$ – вертикальная скорость капель дождя

$\text{h}$ – рост человека

$\text{D}$ – диаметр зонта

Найти:

$v_{max}$ – максимальная скорость человека

Решение:

Рассмотрим движение капель дождя в системе отсчета, связанной с движущимся человеком. В этой системе отсчета человек покоится, а капли дождя имеют две составляющие скорости:

1. Вертикальную составляющую, равную скорости падения капель, $v_1$.

2. Горизонтальную составляющую, направленную навстречу движению человека, равную по модулю скорости человека $v_{чел}$.

Результирующая скорость капель дождя относительно человека $\vec{v}_{отн}$ будет направлена под некоторым углом $\alpha$ к вертикали. Чтобы одежда оставалась сухой, человек наклоняет зонт, защищая себя от летящих под углом капель.

Максимальная скорость движения $v_{max}$ будет в том случае, когда капля, пролетающая у самого края зонта, будет также проходить в непосредственной близости от ног человека. Рассмотрим этот предельный случай.

Чтобы капля достигла ног человека с высоты зонта, она должна пролететь по вертикали расстояние, равное росту человека $\text{h}$. Время, за которое капля пройдет это расстояние по вертикали, равно:

$t = \frac{h}{v_1}$

За это же время капля сместится по горизонтали на расстояние $\Delta x$. Это смещение обусловлено горизонтальной составляющей относительной скорости, равной $v_{max}$:

$\Delta x = v_{max} \cdot t = v_{max} \frac{h}{v_1}$

Чтобы капли не попадали на человека, это горизонтальное смещение должно быть не больше, чем расстояние от центра тела человека до края зонта. При оптимальном расположении зонта это расстояние равно его радиусу, то есть $R = D/2$.

Таким образом, для того чтобы оставаться сухим, должно выполняться условие:

$\Delta x \le \frac{D}{2}$

Подставим выражение для $\Delta x$:

$v_{max} \frac{h}{v_1} \le \frac{D}{2}$

Максимальная скорость $v_{max}$ соответствует знаку равенства в этом выражении:

$v_{max} \frac{h}{v_1} = \frac{D}{2}$

Выразим отсюда максимальную скорость человека $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{v_1 D}{2h}$

Ответ: $v_{max} = \frac{v_1 D}{2h}$