Номер 46, страница 11, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 46, страница 11.

Условие.

46. Два автомобиля подъезжают к развилке дороги со скоростями 72 и 54 км/ч и разъезжаются по двум дорогам, угол между которыми $60^\circ$ (рис. 8). Определите скорость первого автомобиля относительно второго: 1) до развилки; 2) после развилки.

Рис. 8

Решение.

Дано:

Скорость первого автомобиля, $v_1 = 72 \text{ км/ч}$

Скорость второго автомобиля, $v_2 = 54 \text{ км/ч}$

Угол между дорогами после развилки, $\alpha = 60°$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

$v_2 = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

1) Скорость первого автомобиля относительно второго до развилки, $v_{12}$

2) Скорость первого автомобиля относительно второго после развилки, $v'_{12}$

Решение:

Скорость первого автомобиля относительно второго находится по формуле векторного вычитания скоростей: $\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$. Нам нужно найти модуль этого вектора.

1) до развилки

До развилки автомобили движутся в одном направлении. Направим ось координат вдоль их движения. В этом случае векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ сонаправлены. Тогда модуль их разности равен разности их модулей:

$v_{12} = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2| = |v_1 - v_2|$

Подставим числовые значения:

$v_{12} = 20 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с} = 5 \text{ м/с}$

Ответ: $5 \text{ м/с}$

2) после развилки

После развилки автомобили движутся по дорогам, угол между которыми составляет $\alpha = 60°$. Модуль скорости первого автомобиля относительно второго найдем по теореме косинусов для разности векторов:

$v'_{12} = |\vec{v'}_1 - \vec{v'}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 \cos\alpha}$

Подставим числовые значения:

$v'_{12} = \sqrt{(20 \text{ м/с})^2 + (15 \text{ м/с})^2 - 2 \cdot 20 \text{ м/с} \cdot 15 \text{ м/с} \cdot \cos(60°)}$

Так как $\cos(60°) = 0.5$, получаем:

$v'_{12} = \sqrt{400 + 225 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 0.5} = \sqrt{625 - 300} = \sqrt{325} \text{ м/с}$

$v'_{12} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13} \approx 18.03 \text{ м/с}$

Ответ: $\approx 18 \text{ м/с}$