Номер 45, страница 10, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 45, страница 10.

Условие.

45. Согласно закону Хаббла скорость образовавшихся при взрыве галактик пропорциональна расстоянию $\text{r}$ от места взрыва: $v = kr$, где $k = \text{const}$. Докажите, что относительная скорость галактик не зависит от расстояния $\text{r}$, а определяется расстоянием между галактиками, что делает невозможным определение места взрыва.

Решение.

Дано:

Закон Хаббла, описывающий скорость галактики относительно места взрыва: $v = kr$.

Здесь $\text{v}$ – скорость галактики, $\text{r}$ – расстояние от места взрыва, $\text{k}$ – постоянная величина (постоянная Хаббла).

Найти:

Доказать, что относительная скорость двух галактик не зависит от их расстояния до места взрыва, а определяется только расстоянием между самими галактиками, что делает невозможным определение места взрыва.

Решение:

Рассмотрим систему отсчета, начало которой (точка О) совпадает с гипотетическим местом взрыва. Пусть в этой системе отсчета находятся две произвольные галактики: Галактика 1 и Галактика 2.

Положение Галактики 1 задается радиус-вектором $\vec{r}_1$, а положение Галактики 2 – радиус-вектором $\vec{r}_2$. Согласно закону Хаббла, их скорости относительно точки О будут:

$\vec{v}_1 = k \vec{r}_1$

$\vec{v}_2 = k \vec{r}_2$

Найдем относительную скорость Галактики 2 относительно Галактики 1. По закону сложения скоростей, эта скорость $\vec{v}_{21}$ равна разности их скоростей в исходной системе отсчета:

$\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$

Подставим выражения для скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$:

$\vec{v}_{21} = k \vec{r}_2 - k \vec{r}_1 = k (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)$

Вектор $(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)$ представляет собой радиус-вектор, проведенный от Галактики 1 к Галактике 2. Обозначим его как $\vec{L}$:

$\vec{L} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$

Модуль этого вектора, $L = |\vec{L}| = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1|$, является расстоянием между Галактикой 1 и Галактикой 2.

Тогда выражение для относительной скорости принимает вид:

$\vec{v}_{21} = k \vec{L}$

Модуль относительной скорости (то есть относительная скорость, которую измерил бы наблюдатель в Галактике 1 для Галактики 2) равен:

$v_{21} = |\vec{v}_{21}| = |k \vec{L}| = kL$

Полученное выражение $v_{21} = kL$ показывает, что относительная скорость двух галактик пропорциональна расстоянию $\text{L}$ между ними с тем же коэффициентом пропорциональности $\text{k}$. Важно, что эта формула не содержит векторов $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$, то есть она не зависит от положения галактик относительно исходной точки О (места взрыва).

Это означает, что для наблюдателя в любой галактике Вселенная будет выглядеть одинаково: все остальные галактики удаляются от него со скоростями, пропорциональными расстоянию до них. Таким образом, любая галактика может считаться центром расширения, и выделить какой-то особый, "истинный" центр взрыва на основе наблюдений невозможно.

Ответ:

Относительная скорость двух галактик $\vec{v}_{21}$ выражается через расстояние между ними $\vec{L}$ как $\vec{v}_{21} = k\vec{L}$. Модуль этой скорости $v_{21} = kL$ зависит только от расстояния между галактиками $\text{L}$ и постоянной $\text{k}$, и не зависит от их расстояний до первоначального места взрыва. Это доказывает, что определить место взрыва невозможно, так как закон расширения одинаков для наблюдателя в любой точке (в любой галактике).