Номер 38, страница 10, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 38, страница 10.

Условие.

38. Два автомобиля движутся к перекрёстку по взаимно перпендикулярным дорогам: один со скоростью 54 км/ч, а другой со скоростью 72 км/ч. Вычислите модуль относительной скорости автомобилей.

Решение.

Дано:

$v_1 = 54$ км/ч

$v_2 = 72$ км/ч

Автомобили движутся по взаимно перпендикулярным дорогам.

Переведем значения скоростей в систему СИ (метры в секунду):
$v_1 = 54 \frac{км}{ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15$ м/с
$v_2 = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с

Найти:

Модуль относительной скорости автомобилей $v_{отн}$.

Решение:

Относительная скорость одного автомобиля относительно другого находится как векторная разность их скоростей. Пусть $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — векторы скоростей первого и второго автомобилей соответственно. Тогда относительная скорость второго автомобиля относительно первого равна:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$

Поскольку автомобили движутся по взаимно перпендикулярным дорогам, их векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ перпендикулярны друг другу. Модуль векторной разности двух перпендикулярных векторов можно найти по теореме Пифагора, рассматривая векторы $\vec{v_2}$ и $-\vec{v_1}$ как катеты прямоугольного треугольника. Модуль вектора $-\vec{v_1}$ равен модулю вектора $\vec{v_1}$.

Следовательно, модуль относительной скорости равен:

$v_{отн} = |\vec{v_2} - \vec{v_1}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Подставим значения скоростей в км/ч:

$v_{отн} = \sqrt{54^2 + 72^2} = \sqrt{2916 + 5184} = \sqrt{8100} = 90$ км/ч

Или, подставляя значения в м/с:

$v_{отн} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ м/с

Проверим соответствие: $25 \text{ м/с} \cdot 3.6 = 90$ км/ч.

Ответ: модуль относительной скорости автомобилей равен 90 км/ч (или 25 м/с).