Номер 39, страница 10, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 39, страница 10.

Условие.

39. В безветренную погоду капли дождя оставляют на боковом окне равномерно движущегося автобуса следы, направленные под углом $60^\circ$ к вертикали. Чему равна скорость автобуса, если скорость падения капель относительно земли равна $10 \text{ м/с}?$

Решение.

Дано:

Угол наклона следов капель к вертикали $ \alpha = 60^\circ $

Скорость падения капель относительно земли $ v_к = 10 $ м/с

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Скорость автобуса $ v_а $

Решение:

Следы, которые капли дождя оставляют на боковом стекле, соответствуют направлению вектора скорости капель относительно автобуса ($ \vec{v}_{ка} $). Эта относительная скорость находится как векторная разность скорости капель относительно земли ($ \vec{v}_{к} $) и скорости автобуса относительно земли ($ \vec{v}_{а} $).

Закон сложения скоростей в данном случае выглядит так:

$ \vec{v}_{ка} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{а} $

Так как погода безветренная, капли дождя падают строго вертикально вниз. Автобус движется равномерно и прямолинейно, то есть его скорость направлена горизонтально. Для удобства анализа введем систему координат: ось OY направим вертикально вниз, а ось OX – горизонтально по направлению движения автобуса.

В выбранной системе координат проекции векторов скоростей будут следующими:

• Вектор скорости капель относительно земли: $ \vec{v}_{к} $ имеет только вертикальную составляющую, $ v_{к_y} = v_к = 10 $ м/с, а $ v_{к_x} = 0 $.
• Вектор скорости автобуса относительно земли: $ \vec{v}_{а} $ имеет только горизонтальную составляющую, $ v_{а_x} = v_а $, а $ v_{а_y} = 0 $.

Найдем проекции вектора относительной скорости капель относительно автобуса ($ \vec{v}_{ка} $):

$ v_{ка_x} = v_{к_x} - v_{а_x} = 0 - v_а = -v_а $

$ v_{ка_y} = v_{к_y} - v_{а_y} = v_к - 0 = v_к $

Вектор относительной скорости $ \vec{v}_{ка} $ и его компоненты образуют прямоугольный треугольник, где катетами являются модули проекций: $|v_{ка_x}| = v_а$ (горизонтальный катет) и $|v_{ка_y}| = v_к$ (вертикальный катет). Угол $ \alpha $ дан между направлением следа (гипотенузой) и вертикалью.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

$ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{|v_{ка_x}|}{|v_{ка_y}|} = \frac{v_а}{v_к} $

Отсюда мы можем выразить искомую скорость автобуса:

$ v_а = v_к \cdot \tan(\alpha) $

Подставим известные значения в формулу:

$ v_а = 10 \text{ м/с} \cdot \tan(60^\circ) $

Поскольку $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $, получаем:

$ v_а = 10\sqrt{3} \text{ м/с} $

Для численного ответа используем приближенное значение $ \sqrt{3} \approx 1.732 $:

$ v_а \approx 10 \cdot 1.732 = 17.32 \text{ м/с} $

Ответ: скорость автобуса равна $10\sqrt{3}$ м/с, что приблизительно составляет 17.32 м/с.