Номер 40, страница 10, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 40, страница 10.

Условие.

40. Лодочник переправляет пассажиров через реку, скорость течения которой $1 \text{ м/с}$. Ширина реки $100 \text{ м}$, скорость лодки относительно воды $2 \text{ м/с}$. 1) Как лодочник должен направить лодку, чтобы путь лодки был минимальным? Сколько времени в этом случае длится переправа? 2) Определите минимальное время переправы. Где в этом случае окажется лодка?

Решение.

Дано:

Скорость течения реки, $v_{теч} = 1$ м/с

Ширина реки, $d = 100$ м

Скорость лодки относительно воды, $v_{лод} = 2$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1) Направление лодки для минимального пути, время переправы $t_1$.

2) Минимальное время переправы $t_{min}$, местоположение лодки (смещение по течению $s_x$).

Решение:

Скорость лодки относительно берега (абсолютная скорость) является векторной суммой скорости лодки относительно воды и скорости течения реки:

$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{лод} + \vec{v}_{теч}$

Введем систему координат: ось OY направим перпендикулярно берегу (через реку), а ось OX — вдоль берега по направлению течения.

1) Как лодочник должен направить лодку, чтобы путь лодки был минимальным? Сколько времени в этом случае длится переправа?

Минимальный путь лодки через реку — это прямая, перпендикулярная берегам. Для этого результирующий вектор скорости лодки относительно берега $\vec{v}_{абс}$ должен быть направлен строго перпендикулярно течению, то есть вдоль оси OY. Это означает, что его проекция на ось OX должна быть равна нулю.

Лодочник должен направить лодку под некоторым углом $\alpha$ против течения относительно перпендикуляра к берегу. Тогда проекции скоростей на оси будут:

$v_{лод, x} = -v_{лод} \sin\alpha$

$v_{лод, y} = v_{лод} \cos\alpha$

$v_{теч, x} = v_{теч}$

$v_{теч, y} = 0$

Проекция абсолютной скорости на ось OX:

$v_{абс, x} = v_{лод, x} + v_{теч, x} = -v_{лод} \sin\alpha + v_{теч}$

Для движения перпендикулярно берегу $v_{абс, x} = 0$, следовательно:

$v_{лод} \sin\alpha = v_{теч}$

$\sin\alpha = \frac{v_{теч}}{v_{лод}} = \frac{1 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}} = 0.5$

Отсюда угол $\alpha = 30^\circ$. Это угол к перпендикуляру к берегу, против течения. Угол к направлению течения будет $90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Скорость лодки относительно берега в этом случае будет направлена вдоль оси OY и равна:

$v_{абс} = v_{абс, y} = v_{лод, y} + v_{теч, y} = v_{лод} \cos\alpha + 0 = 2 \cdot \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ м/с.

Время переправы $t_1$ найдем как отношение ширины реки к скорости лодки относительно берега:

$t_1 = \frac{d}{v_{абс}} = \frac{100}{\sqrt{3}} \approx 57.7$ с.

Ответ: Чтобы путь был минимальным, лодочник должен направить лодку под углом $120^\circ$ к направлению течения (или $30^\circ$ к перпендикуляру к берегу, против течения). Переправа в этом случае продлится примерно $57.7$ с.

2) Определите минимальное время переправы. Где в этом случае окажется лодка?

Время переправы определяется компонентой скорости, перпендикулярной берегу (вдоль оси OY): $t = \frac{d}{v_{абс, y}}$. Чтобы время было минимальным, составляющая скорости $v_{абс, y}$ должна быть максимальной.

$v_{абс, y} = v_{лод, y} + v_{теч, y}$. Поскольку $v_{теч, y}=0$, то $v_{абс, y} = v_{лод, y}$.

Максимальное значение $v_{лод, y}$ достигается, когда вся скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегу. Это значит, что лодочник должен направить лодку перпендикулярно течению ($\alpha = 0$). В этом случае $v_{лод, y} = v_{лод} = 2$ м/с.

Минимальное время переправы $t_{min}$ равно:

$t_{min} = \frac{d}{v_{лод}} = \frac{100 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 50$ с.

За это время течение снесет лодку вниз по реке. Смещение $s_x$ вдоль берега можно найти, умножив скорость течения на время переправы:

$s_x = v_{теч} \cdot t_{min} = 1 \text{ м/с} \cdot 50 \text{ с} = 50$ м.

Ответ: Минимальное время переправы составляет $50$ с. В этом случае лодка окажется на другом берегу на $50$ м ниже по течению от точки, расположенной прямо напротив места старта.