Номер 41, страница 10, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 41, страница 10.

Условие.

41. Самолёт летит строго на север со скоростью $v_c$ относительно земли. При этом дует северо-западный ветер, скорость которого равна $v_в$. Чему равна скорость самолёта относительно ветра? Под каким углом $\beta$ к направлению движения лётчик удерживает самолёт?

Решение.

Дано:

$v_c$ - скорость самолёта относительно земли, направлена на север.

$v_в$ - скорость ветра относительно земли, ветер северо-западный (дует с северо-запада на юго-восток).

Найти:

$v_{св}$ - скорость самолёта относительно ветра.

$\beta$ - угол между направлением движения самолёта и направлением, в котором лётчик удерживает самолёт.

Решение:

Скорость самолёта относительно земли ($\vec{v}_{сз}$) является векторной суммой скорости самолёта относительно ветра (воздуха) ($\vec{v}_{св}$) и скорости самого ветра относительно земли ($\vec{v}_{вз}$):

$\vec{v}_{сз} = \vec{v}_{св} + \vec{v}_{вз}$

Отсюда скорость самолёта относительно ветра равна:

$\vec{v}_{св} = \vec{v}_{сз} - \vec{v}_{вз}$

Введём систему координат: ось Oy направим на север, а ось Ox — на восток. Тогда:

• Вектор скорости самолёта относительно земли направлен строго на север: $\vec{v}_{сз} = \{0; v_c\}$.

• Северо-западный ветер дует с северо-запада на юго-восток. Его направление составляет угол $-45^\circ$ или $315^\circ$ с осью Ox. Проекции вектора скорости ветра на оси координат будут:$v_{вз,x} = v_в \cos(-45^\circ) = v_в \frac{\sqrt{2}}{2}$$v_{вз,y} = v_в \sin(-45^\circ) = -v_в \frac{\sqrt{2}}{2}$Таким образом, $\vec{v}_{вз} = \{v_в \frac{\sqrt{2}}{2}; -v_в \frac{\sqrt{2}}{2}\}$.

Теперь найдём проекции вектора скорости самолёта относительно ветра $\vec{v}_{св}$:

$v_{св,x} = v_{сз,x} - v_{вз,x} = 0 - v_в \frac{\sqrt{2}}{2} = -v_в \frac{\sqrt{2}}{2}$

$v_{св,y} = v_{сз,y} - v_{вз,y} = v_c - (-v_в \frac{\sqrt{2}}{2}) = v_c + v_в \frac{\sqrt{2}}{2}$

Чему равна скорость самолёта относительно ветра?

Модуль скорости самолёта относительно ветра (его скорость) найдём по теореме Пифагора:

$v_{св} = |\vec{v}_{св}| = \sqrt{v_{св,x}^2 + v_{св,y}^2} = \sqrt{\left(-v_в \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(v_c + v_в \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}$

$v_{св} = \sqrt{\frac{v_в^2 \cdot 2}{4} + v_c^2 + 2v_c v_в \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{v_в^2 \cdot 2}{4}} = \sqrt{\frac{v_в^2}{2} + v_c^2 + \sqrt{2}v_c v_в + \frac{v_в^2}{2}}$

$v_{св} = \sqrt{v_c^2 + v_в^2 + \sqrt{2}v_c v_в}$

Ответ: Скорость самолёта относительно ветра равна $\sqrt{v_c^2 + v_в^2 + \sqrt{2}v_c v_в}$.

Под каким углом β к направлению движения лётчик удерживает самолёт?

Направление движения самолёта — это направление вектора $\vec{v}_{сз}$, то есть на север (вдоль оси Oy). Направление, в котором лётчик удерживает самолёт, — это направление вектора скорости самолёта относительно воздуха, то есть $\vec{v}_{св}$. Нам нужно найти угол $\beta$ между этими двумя векторами.

Тангенс этого угла можно найти как отношение модуля проекции $\vec{v}_{св}$ на ось, перпендикулярную движению (Ox), к проекции на ось, вдоль которой происходит движение (Oy):

$\tan\beta = \frac{|v_{св,x}|}{v_{св,y}} = \frac{v_в \frac{\sqrt{2}}{2}}{v_c + v_в \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на 2:

$\tan\beta = \frac{v_в \sqrt{2}}{2v_c + v_в \sqrt{2}}$

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен:

$\beta = \arctan\left(\frac{v_в \sqrt{2}}{2v_c + v_в \sqrt{2}}\right)$

Так как $v_{св,x} < 0$, самолёт нужно направлять к западу от севера.

Ответ: Лётчик удерживает самолёт под углом $\beta = \arctan\left(\frac{v_в \sqrt{2}}{2v_c + v_в \sqrt{2}}\right)$ к западу от направления на север.