Номер 48, страница 11, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 48, страница 11.

Условие.

48. По шоссе со скоростью 10 м/с едет автобус. Человек находится на расстоянии 100 м от шоссе и 300 м от автобуса. В каком направлении должен идти человек, чтобы выйти на шоссе раньше автобуса или одновременно с ним? Скорость человека 5 м/с.

Решение.

Дано:

Скорость автобуса $v_а = 10$ м/с
Скорость человека $v_ч = 5$ м/с
Расстояние от человека до шоссе $h = 100$ м
Расстояние от человека до автобуса $D = 300$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Направление, в котором должен идти человек.

Решение:

Введем систему координат. Пусть шоссе совпадает с осью Ox, а перпендикуляр, опущенный из точки нахождения человека на шоссе, совпадает с осью Oy. Тогда человек находится в точке P с координатами $(0, h)$, то есть P(0, 100 м).

Автобус B находится на шоссе (ось Ox). Расстояние от человека до автобуса $D=PB=300$ м. Точка O(0,0) — это проекция положения человека на шоссе. Рассмотрим прямоугольный треугольник POB. По теореме Пифагора найдем расстояние OB — начальное расстояние по шоссе от автобуса до ближайшей к человеку точки на шоссе:

$OB = \sqrt{PB^2 - PO^2} = \sqrt{D^2 - h^2} = \sqrt{300^2 - 100^2} = \sqrt{90000 - 10000} = \sqrt{80000} = 200\sqrt{2}$ м.

Скорость автобуса ($10$ м/с) больше скорости человека ($\text{5}$ м/с). Человек сможет выйти на шоссе раньше автобуса или одновременно с ним только в том случае, если автобус движется ему навстречу (в сторону точки O). Таким образом, начальная координата автобуса B будет $(-200\sqrt{2}, 0)$, и он движется в положительном направлении оси Ox.

Пусть человек и автобус встречаются в точке M на шоссе с координатой $(x, 0)$. Человек должен выбрать такое $\text{x}$, чтобы его время в пути $t_ч$ было меньше или равно времени в пути автобуса $t_а$.

Время движения человека до точки M:

$t_ч = \frac{\text{расстояние PM}}{v_ч} = \frac{\sqrt{(x-0)^2 + (100-0)^2}}{5} = \frac{\sqrt{x^2 + 10000}}{5}$

Время движения автобуса до точки M:

$t_а = \frac{\text{расстояние BM}}{v_а} = \frac{x - (-200\sqrt{2})}{10} = \frac{x + 200\sqrt{2}}{10}$

Условие задачи: $t_ч \le t_а$.

$\frac{\sqrt{x^2 + 10000}}{5} \le \frac{x + 200\sqrt{2}}{10}$

Умножим обе части на 10:

$2\sqrt{x^2 + 10000} \le x + 200\sqrt{2}$

Левая часть неравенства всегда неотрицательна, значит и правая должна быть такой же. Возведем обе части в квадрат:

$4(x^2 + 10000) \le (x + 200\sqrt{2})^2$

$4x^2 + 40000 \le x^2 + 400\sqrt{2}x + 80000$

$3x^2 - 400\sqrt{2}x - 40000 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 400\sqrt{2}x - 40000 = 0$:

Дискриминант $D_k = (b/2)^2 - ac = (-200\sqrt{2})^2 - 3(-40000) = 80000 + 120000 = 200000$.

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D_k}}{a} = \frac{200\sqrt{2} \pm \sqrt{200000}}{3} = \frac{200\sqrt{2} \pm 200\sqrt{5}}{3} = \frac{200}{3}(\sqrt{2} \pm \sqrt{5})$

Парабола $y=3x^2 - 400\sqrt{2}x - 40000$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$\frac{200}{3}(\sqrt{2} - \sqrt{5}) \le x \le \frac{200}{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

Это диапазон координат на шоссе, в которые должен целиться человек. Направление его движения можно охарактеризовать углом $\alpha$ между его траекторией (отрезок PM) и перпендикуляром к шоссе (отрезок PO).

Из прямоугольного треугольника POM имеем: $\tan(\alpha) = \frac{OM}{PO} = \frac{x}{100}$.

Найдем диапазон для $\tan(\alpha)$:

$\frac{1}{100} \cdot \frac{200}{3}(\sqrt{2} - \sqrt{5}) \le \tan(\alpha) \le \frac{1}{100} \cdot \frac{200}{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

$\frac{2}{3}(\sqrt{2} - \sqrt{5}) \le \tan(\alpha) \le \frac{2}{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

Приближенные значения: $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{5} \approx 2.236$.

$\tan(\alpha_{min}) \approx \frac{2}{3}(1.414 - 2.236) \approx -0.548 \implies \alpha_{min} \approx -28.7^\circ$

$\tan(\alpha_{max}) \approx \frac{2}{3}(1.414 + 2.236) \approx 2.433 \implies \alpha_{max} \approx 67.7^\circ$

Угол $\alpha$ отсчитывается от перпендикуляра к шоссе. Положительные значения угла соответствуют направлению в сторону движения автобуса, а отрицательные — в противоположную.

Ответ:

Человек должен идти в направлении, составляющем с перпендикуляром к шоссе угол $\alpha$ в диапазоне от $\arctan\left(\frac{2}{3}(\sqrt{2} - \sqrt{5})\right)$ до $\arctan\left(\frac{2}{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5})\right)$. Приблизительно это составляет сектор от $-28.7^\circ$ до $67.7^\circ$, где положительный угол отсчитывается от перпендикуляра к шоссе в сторону движения автобуса.