Номер 42, страница 10, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Сложение скоростей - номер 42, страница 10.

Условие.

42. Мальчик, бегущий вдоль длинного забора, бросает мяч и ловит его после удара о забор. Скорость мальчика $v_0$, скорость мяча относительно него $v_{\text{отн}}$. Под каким углом к забору он бросает мяч?

Решение.

Дано:

Скорость мальчика: $v_0$

Скорость мяча относительно мальчика: $v_{отн}$

Найти:

Угол $\alpha$ к забору, под которым мальчик должен бросить мяч.

Решение:

Рассмотрим движение мальчика и мяча в системе отсчета, связанной с землей. Направим ось $Ox$ вдоль забора по направлению движения мальчика, а ось $Oy$ — перпендикулярно забору, в сторону, куда бросают мяч. В начальный момент времени ($t=0$) мальчик и мяч находятся в одной точке, которую примем за начало координат.

Скорость мальчика в этой системе отсчета является постоянной и ее вектор: $\vec{v}_0 = (v_0, 0)$.

Скорость мяча относительно мальчика $\vec{v}_{отн}$ направлена под искомым углом $\alpha$ к забору (к оси $Ox$). Ее можно разложить на компоненты: $\vec{v}_{отн} = (v_{отн} \cos\alpha, v_{отн} \sin\alpha)$.

Абсолютная скорость мяча (относительно земли) находится по закону сложения скоростей: $\vec{v}_{мяча} = \vec{v}_0 + \vec{v}_{отн}$.

Найдем компоненты абсолютной скорости мяча:

Компонента вдоль забора (ось $Ox$): $v_{мяча, x} = v_0 + v_{отн} \cos\alpha$.

Компонента перпендикулярно забору (ось $Oy$): $v_{мяча, y} = v_{отн} \sin\alpha$.

Для того чтобы мальчик поймал мяч, необходимо, чтобы в момент возвращения мяча к линии движения мальчика (когда координата мяча по оси $Oy$ снова станет равна нулю), их координаты по оси $Ox$ совпали.

За все время полета $\text{T}$ (до забора и обратно) мальчик сместится вдоль оси $Ox$ на расстояние $S_x = v_0 T$.

Рассмотрим движение мяча. При упругом ударе о забор изменяется только компонента скорости, перпендикулярная забору ($v_{мяча, y}$ меняет знак), а компонента, параллельная забору ($v_{мяча, x}$), остается неизменной. Таким образом, на протяжении всего полета горизонтальная составляющая скорости мяча постоянна и равна $v_{мяча, x}$.

За то же время $\text{T}$ мяч сместится вдоль оси $Ox$ на расстояние $S_{мяча, x} = v_{мяча, x} T = (v_0 + v_{отн} \cos\alpha) T$.

Поскольку в начальный и конечный моменты времени мальчик и мяч находятся в одной точке, их перемещения вдоль оси $Ox$ должны быть равны:

$S_x = S_{мяча, x}$

$v_0 T = (v_0 + v_{отн} \cos\alpha) T$

Так как время полета $T > 0$, можно разделить обе части уравнения на $\text{T}$:

$v_0 = v_0 + v_{отн} \cos\alpha$

Отсюда получаем:

$v_{отн} \cos\alpha = 0$

Поскольку мяч брошен, его относительная скорость $v_{отн} \neq 0$. Следовательно, должно выполняться условие:

$\cos\alpha = 0$

Это означает, что угол $\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, чтобы поймать мяч после отскока от забора, мальчик должен бросить его под прямым углом к забору.

Ответ: $90^\circ$.