Номер 57, страница 12, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 57, страница 12.

Условие.

57. [50] Материальная точка движется равномерно по окружности со скоростью $5 \text{ м/с}$. За $2 \text{ с}$ она проходит четверть окружности. Определите среднее ускорение точки. Определите также среднее ускорение точки, когда она сделает половину оборота и целый оборот.

Решение.

Дано:

$v = 5 \text{ м/с}$

$\Delta t_1 = 2 \text{ с}$ (время прохождения четверти окружности)

Найти:

$a_{ср1}$ — среднее ускорение за четверть оборота.

$a_{ср2}$ — среднее ускорение за половину оборота.

$a_{ср3}$ — среднее ускорение за целый оборот.

Решение:

Среднее ускорение определяется как отношение изменения вектора скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

$\vec{a}_{ср} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}}{\Delta t}$

Модуль среднего ускорения равен:

$a_{ср} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{|\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}|}{\Delta t}$

Поскольку движение равномерное, модуль скорости постоянен: $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v = 5 \text{ м/с}$.

1. Среднее ускорение за четверть оборота.

За время $\Delta t_1 = 2 \text{ с}$ точка проходит четверть окружности, то есть поворачивается на угол $90^\circ$. Векторы начальной скорости $\vec{v}_1$ и конечной скорости $\vec{v}_2$ перпендикулярны друг другу.

Модуль разности векторов $|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|$ найдем по теореме Пифагора для векторного треугольника, где $|\vec{v}_1|$ и $|\vec{v}_2|$ — катеты, а $|\Delta \vec{v}|$ — гипотенуза.

$|\Delta \vec{v}_1| = \sqrt{|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$

Вычислим модуль среднего ускорения:

$a_{ср1} = \frac{|\Delta \vec{v}_1|}{\Delta t_1} = \frac{v\sqrt{2}}{\Delta t_1} = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2} \approx \frac{5 \cdot 1.414}{2} \approx 3.54 \text{ м/с}^2$

Ответ: среднее ускорение за четверть оборота составляет примерно $3.54 \text{ м/с}^2$.

2. Среднее ускорение за половину оборота.

Время, за которое точка проходит половину оборота, в два раза больше времени прохождения четверти оборота:

$\Delta t_2 = 2 \cdot \Delta t_1 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ с}$

При прохождении половины окружности вектор конечной скорости $\vec{v}_2$ будет направлен в сторону, противоположную вектору начальной скорости $\vec{v}_1$, то есть $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$.

Изменение вектора скорости:

$\Delta \vec{v}_2 = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = -\vec{v}_1 - \vec{v}_1 = -2\vec{v}_1$

Модуль изменения скорости:

$|\Delta \vec{v}_2| = |-2\vec{v}_1| = 2|\vec{v}_1| = 2v$

Вычислим модуль среднего ускорения:

$a_{ср2} = \frac{|\Delta \vec{v}_2|}{\Delta t_2} = \frac{2v}{\Delta t_2} = \frac{2 \cdot 5}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: среднее ускорение за половину оборота составляет $2.5 \text{ м/с}^2$.

3. Среднее ускорение за целый оборот.

Время, за которое точка проходит целый оборот, в четыре раза больше времени прохождения четверти оборота:

$\Delta t_3 = 4 \cdot \Delta t_1 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ с}$

После полного оборота точка возвращается в исходное положение. Вектор конечной скорости $\vec{v}_2$ совпадает с вектором начальной скорости $\vec{v}_1$, так как точка находится в той же точке траектории и движется в том же направлении.

$\vec{v}_2 = \vec{v}_1$

Изменение вектора скорости:

$\Delta \vec{v}_3 = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = \vec{v}_1 - \vec{v}_1 = 0$

Следовательно, модуль среднего ускорения равен нулю:

$a_{ср3} = \frac{|\Delta \vec{v}_3|}{\Delta t_3} = \frac{0}{8} = 0 \text{ м/с}^2$

Ответ: среднее ускорение за целый оборот равно $0 \text{ м/с}^2$.