Номер 66, страница 13, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 66, страница 13.

Условие.

66. [71] При равноускоренном движении велосипедист проезжает за два одинаковых последовательных промежутка времени, равных 3 с, расстояния 20 и 50 м. Определите начальную скорость и ускорение велосипедиста.

Решение.

Дано

Промежуток времени, $\Delta t = 3$ с
Расстояние за первый промежуток, $s_1 = 20$ м
Расстояние за второй промежуток, $s_2 = 50$ м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Начальная скорость, $v_0$ - ?
Ускорение, $\text{a}$ - ?

Решение

Поскольку движение равноускоренное, мы можем использовать формулу для перемещения: $s = v_{нач} t + \frac{at^2}{2}$, где $v_{нач}$ — это скорость в начале рассматриваемого интервала времени.

1. Рассмотрим первый промежуток времени $\Delta t = 3$ с. Начальная скорость для этого интервала равна $v_0$, а пройденный путь $s_1 = 20$ м.
$s_1 = v_0 \Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2}$
Подставим известные значения:
$20 = v_0 \cdot 3 + \frac{a \cdot 3^2}{2}$
$20 = 3v_0 + 4.5a$ (Уравнение 1)

2. Рассмотрим второй промежуток времени, который также равен $\Delta t = 3$ с. Начальной скоростью для этого промежутка является скорость $v_1$ в конце первого промежутка.
Найдем скорость $v_1$ по формуле $v = v_0 + at$:
$v_1 = v_0 + a \Delta t = v_0 + 3a$
Теперь запишем уравнение перемещения для второго промежутка, где пройденный путь $s_2 = 50$ м:
$s_2 = v_1 \Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2}$
Подставим выражение для $v_1$ и известные значения:
$50 = (v_0 + 3a) \cdot 3 + \frac{a \cdot 3^2}{2}$
$50 = 3v_0 + 9a + 4.5a$
$50 = 3v_0 + 13.5a$ (Уравнение 2)

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $v_0$ и $\text{a}$:
$\begin{cases} 20 = 3v_0 + 4.5a \\ 50 = 3v_0 + 13.5a \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти ускорение $\text{a}$:
$(50 - 20) = (3v_0 - 3v_0) + (13.5a - 4.5a)$
$30 = 9a$
$a = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ м/с$^2$

4. Подставим найденное значение ускорения $\text{a}$ в Уравнение 1, чтобы найти начальную скорость $v_0$:
$20 = 3v_0 + 4.5 \cdot \frac{10}{3}$
$20 = 3v_0 + \frac{9}{2} \cdot \frac{10}{3}$
$20 = 3v_0 + 15$
$3v_0 = 20 - 15$
$3v_0 = 5$
$v_0 = \frac{5}{3} \approx 1.67$ м/с

Ответ: начальная скорость велосипедиста $v_0 = \frac{5}{3}$ м/с (приблизительно $1.67$ м/с), ускорение $a = \frac{10}{3}$ м/с$^2$ (приблизительно $3.33$ м/с$^2$).