Номер 80, страница 15, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков - номер 80, страница 15.

Условие.

80. [67] Используя рисунок 13, запишите уравнение движения тела $x(t)$ и зависимость проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Рис. 13

Решение.

Дано:

График зависимости координаты тела от времени $x(t)$.

Найти:

$x(t)$ — ?

$v_x(t)$ — ?

Решение:

Представленный на рисунке 13 график зависимости координаты от времени $x(t)$ является параболой. Это характерно для равноускоренного прямолинейного движения. Общее уравнение движения в этом случае имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

А зависимость проекции скорости от времени описывается уравнением:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Чтобы записать конкретные уравнения для данного движения, нам необходимо определить параметры: начальную координату $x_0$, начальную проекцию скорости $v_{0x}$ и проекцию ускорения $a_x$, используя данные с графика.

1. Определение начальной координаты $x_0$. Из графика находим координату тела в начальный момент времени $t = 0$ с. Она составляет $x_0 = 10$ м.

2. Определение $v_{0x}$ и $a_x$. Вершина параболы соответствует моменту времени, когда скорость тела становится равной нулю ($v_x = 0$). По графику определяем, что вершина находится в точке с координатами $t = 5$ с и $x_{max} = 35$ м.

Подставим значение времени $t = 5$ с в уравнение скорости:

$v_x(5) = v_{0x} + a_x \cdot 5 = 0$

Из этого уравнения выразим начальную скорость:

$v_{0x} = -5a_x$ (1)

Теперь подставим координаты вершины ($t = 5$ с, $x = 35$ м) и значение $x_0$ в уравнение движения:

$x(5) = x_0 + v_{0x} \cdot 5 + \frac{a_x \cdot 5^2}{2}$

$35 = 10 + 5v_{0x} + \frac{25a_x}{2}$

$25 = 5v_{0x} + 12.5a_x$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $v_{0x}$ из (1) в (2):

$25 = 5(-5a_x) + 12.5a_x$

$25 = -25a_x + 12.5a_x$

$25 = -12.5a_x$

$a_x = \frac{25}{-12.5} = -2$ м/с².

Зная ускорение, найдем начальную скорость из уравнения (1):

$v_{0x} = -5 \cdot (-2) = 10$ м/с.

Итак, мы определили все параметры движения: $x_0 = 10$ м, $v_{0x} = 10$ м/с, $a_x = -2$ м/с². Теперь мы можем записать искомые уравнения.

Уравнение движения тела x(t)

Подставляем найденные параметры в общее уравнение движения:

$x(t) = 10 + 10t + \frac{-2 \cdot t^2}{2}$

$x(t) = 10 + 10t - t^2$

Ответ: Уравнение движения тела: $x(t) = 10 + 10t - t^2$ (где $\text{x}$ в метрах, $\text{t}$ в секундах).

Зависимость проекции скорости от времени vₓ(t)

Подставляем найденные параметры в общее уравнение скорости:

$v_x(t) = 10 + (-2)t$

$v_x(t) = 10 - 2t$

Ответ: Зависимость проекции скорости от времени: $v_x(t) = 10 - 2t$ (где $v_x$ в м/с, $\text{t}$ в секундах).