Номер 85, страница 16, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 85, страница 16.

Условие.

85. [77] Груз срывается с верёвки и свободно падает с высоты $\text{h}$. На второй половине пути средняя скорость груза равна $20 \text{ м/с}$. Чему равна высота $\text{h}$?

Решение.

Дано:

Движение - свободное падение
Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Средняя скорость на второй половине пути $v_{ср2} = 20$ м/с
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Высота $\text{h}$ - ?

Решение:

Весь путь падения груза равен $\text{h}$. Разделим этот путь на два равных участка по $h/2$.

Обозначим $v_1$ как скорость груза в середине пути (после прохождения расстояния $h/2$), а $v_2$ как конечную скорость груза в момент падения на землю (после прохождения всего пути $\text{h}$).

Найдем скорость $v_1$ в середине пути. Для этого воспользуемся формулой для равноускоренного движения, связывающей путь, скорость и ускорение: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2g}$.

На первом участке пути пройденный путь $s_1 = h/2$, начальная скорость $v_0 = 0$, а конечная скорость равна $v_1$. Подставим эти значения в формулу:
$\frac{h}{2} = \frac{v_1^2 - 0^2}{2g}$
Отсюда выразим квадрат скорости $v_1$:
$v_1^2 = gh$ (1)

Теперь рассмотрим движение на второй половине пути. Начальная скорость для этого участка равна $v_1$, конечная - $v_2$, а пройденный путь $s_2 = h/2$.

Средняя скорость при равноускоренном движении вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{v_{начальная} + v_{конечная}}{2}$.

По условию задачи, средняя скорость на второй половине пути $v_{ср2} = 20$ м/с. Следовательно:
$v_{ср2} = \frac{v_1 + v_2}{2} = 20$
$v_1 + v_2 = 40$ (2)

Найдем конечную скорость $v_2$. Для этого рассмотрим движение на всем пути $\text{h}$. Начальная скорость $v_0=0$.
$h = \frac{v_2^2 - v_0^2}{2g} = \frac{v_2^2}{2g}$
Отсюда выразим квадрат скорости $v_2$:
$v_2^2 = 2gh$ (3)

Из уравнений (1) и (3) выразим скорости $v_1$ и $v_2$ через высоту $\text{h}$:
$v_1 = \sqrt{gh}$
$v_2 = \sqrt{2gh}$

Подставим эти выражения в уравнение (2):
$\sqrt{gh} + \sqrt{2gh} = 40$
Вынесем общий множитель $\sqrt{gh}$ за скобки:
$\sqrt{gh} (1 + \sqrt{2}) = 40$

Теперь выразим высоту $\text{h}$. Сначала найдем $\sqrt{gh}$:
$\sqrt{gh} = \frac{40}{1 + \sqrt{2}}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$gh = \left( \frac{40}{1 + \sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1600}{(1 + \sqrt{2})^2} = \frac{1600}{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \frac{1600}{3 + 2\sqrt{2}}$
$h = \frac{1600}{g(3 + 2\sqrt{2})}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с² и подставим в формулу:
$h = \frac{1600}{10(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{160}{3 + 2\sqrt{2}}$
Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - 2\sqrt{2})$:
$h = \frac{160(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{160(3 - 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{160(3 - 2\sqrt{2})}{9 - 8} = 160(3 - 2\sqrt{2})$

Теперь вычислим числовое значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:
$h \approx 160(3 - 2 \cdot 1.414) = 160(3 - 2.828) = 160 \cdot 0.172 \approx 27.52$ м.

Округляя до десятых, получаем $h \approx 27.5$ м.

Ответ: $h \approx 27.5$ м.