Номер 81, страница 15, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков - номер 81, страница 15.

Условие.

81. [69] Из пункта $\text{A}$ в пункт $\text{B}$, расположенный на той же прямой дороге на расстоянии $6 \text{ км}$, выходит пешеход и идёт с постоянной скоростью $4 \text{ км/ч}$. Спустя $0,5 \text{ ч}$ из пункта $\text{A}$ выезжает велосипедист, который в течение $20 \text{ мин}$ движется с ускорением, затем некоторое время равномерно, а последние $20 \text{ мин}$ с тем же по модулю ускорением до остановки. В результате велосипедист прибывает в пункт $\text{B}$ одновременно с пешеходом. Определите модуль ускорения велосипедиста.

Решение.

Дано:

Расстояние $S = 6$ км

Скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч

Задержка старта велосипедиста $\Delta t = 0,5$ ч

Время разгона велосипедиста $t_1 = 20$ мин

Время торможения велосипедиста $t_3 = 20$ мин

Перевод в систему СИ:

$S = 6 \text{ км} = 6 \cdot 1000 \text{ м} = 6000$ м

$v_п = 4 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 4 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{10}{9}$ м/с

$\Delta t = 0,5 \text{ ч} = 0,5 \cdot 3600 \text{ с} = 1800$ с

$t_1 = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200$ с

$t_3 = t_1 = 1200$ с

Найти:

$\text{a}$ - модуль ускорения велосипедиста.

Решение:

1. Сначала определим общее время движения пешехода ($t_п$). Поскольку его скорость постоянна, время в пути равно:

$t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{6000 \text{ м}}{10/9 \text{ м/с}} = 5400$ с.

2. Велосипедист выехал на $\Delta t$ позже пешехода и прибыл в пункт В одновременно с ним. Значит, время движения велосипедиста ($t_в$) составляет:

$t_в = t_п - \Delta t = 5400 \text{ с} - 1800 \text{ с} = 3600$ с.

3. Движение велосипедиста состоит из трех этапов: разгон ($t_1$), равномерное движение ($t_2$) и торможение ($t_3$). Общее время движения $t_в = t_1 + t_2 + t_3$. Найдем время равномерного движения $t_2$:

$t_2 = t_в - t_1 - t_3 = 3600 \text{ с} - 1200 \text{ с} - 1200 \text{ с} = 1200$ с.

4. Путь, пройденный велосипедистом, можно представить как площадь фигуры под графиком скорости от времени $v(t)$. Этот график представляет собой трапецию, у которой:

- нижнее основание - полное время движения $t_в$;

- верхнее основание - время равномерного движения $t_2$;

- высота - максимальная скорость $v_{max}$, достигнутая велосипедистом.

Площадь трапеции равна пройденному пути $\text{S}$:

$S = \frac{t_в + t_2}{2} \cdot v_{max}$

5. Из этой формулы найдем максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{2S}{t_в + t_2} = \frac{2 \cdot 6000 \text{ м}}{3600 \text{ с} + 1200 \text{ с}} = \frac{12000}{4800} = 2,5$ м/с.

6. Модуль ускорения $\text{a}$ на этапе разгона (и торможения) определяется как изменение скорости за промежуток времени:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{max} - 0}{t_1} = \frac{v_{max}}{t_1}$

Подставим найденные значения:

$a = \frac{2,5 \text{ м/с}}{1200 \text{ с}} = \frac{5}{2400} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{1}{480}$ м/с$^2$.

Ответ: $a = \frac{1}{480}$ м/с$^2$ (что приблизительно равно $0,0021$ м/с$^2$).