Номер 98, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 98, страница 17.

Условие.

98. [90] Под каким углом $\alpha$ к горизонту надо бросить мяч, чтобы высота его подъёма была в 2 раза больше дальности полёта?

Решение.

Дано:

$\text{H}$ - высота подъёма

$\text{L}$ - дальность полёта

$H = 2L$

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

Движение мяча, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Сопротивление воздуха не учитываем.

Максимальная высота подъёма $\text{H}$ определяется по формуле:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

где $v_0$ — начальная скорость мяча, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Дальность полёта $\text{L}$ определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Согласно условию задачи, высота подъёма в 2 раза больше дальности полёта:

$H = 2L$

Подставим формулы для $\text{H}$ и $\text{L}$ в это соотношение:

$\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 2 \cdot \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{v_0^2}{g}$ (так как начальная скорость и ускорение свободного падения не равны нулю):

$\frac{\sin^2 \alpha}{2} = 2 \sin(2\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

$\frac{\sin^2 \alpha}{2} = 2 \cdot (2 \sin\alpha \cos\alpha)$

$\frac{\sin^2 \alpha}{2} = 4 \sin\alpha \cos\alpha$

Так как для полёта угол $\alpha$ не может быть равен 0, то $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\sin\alpha$:

$\frac{\sin \alpha}{2} = 4 \cos\alpha$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, зная что $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Для этого разделим обе части на $\cos\alpha$ (угол не равен $90^\circ$, иначе дальность полёта равна нулю) и умножим на 2:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 4 \cdot 2$

$\tan\alpha = 8$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(8)$

Вычисляя значение, получаем:

$\alpha \approx 82.87^\circ \approx 83^\circ$

Ответ: Мяч надо бросить под углом $\alpha = \arctan(8)$ к горизонту, что составляет примерно $83^\circ$.