Номер 99, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 99, страница 17.

Условие.

99. [91] Докажите, что траектория тела, брошенного под углом к горизонту, — парабола.

Решение.

Дано:

Тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ускорение свободного падения равно $\text{g}$.

Найти:

Доказать, что траектория движения тела является параболой.

Решение:

Выберем систему координат, в которой начало отсчета $(0,0)$ совпадает с точкой броска, ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх.

Движение тела является сложным и может быть разложено на два независимых движения:

1. Равномерное движение вдоль оси $OX$ (так как в горизонтальном направлении силы не действуют, ускорение равно нулю).

2. Равноускоренное движение вдоль оси $OY$ с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным в противоположную сторону оси $OY$ (то есть $a_y = -g$).

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Запишем уравнения зависимости координат тела от времени $\text{t}$.

Для оси $OX$ (равномерное движение):

$x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t \quad (1)$

Для оси $OY$ (равноускоренное движение):

$y(t) = v_{0y} \cdot t + \frac{a_y t^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2} \quad (2)$

Уравнение траектории представляет собой зависимость $\text{y}$ от $\text{x}$. Чтобы его получить, необходимо исключить из системы уравнений (1) и (2) время $\text{t}$.

Из уравнения (1) выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}$

Подставим это выражение для $\text{t}$ в уравнение (2):

$y(x) = v_0 \sin(\alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right)^2$

Упростим полученное выражение:

$y(x) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} x^2$

Так как $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$, уравнение принимает вид:

$y(x) = (\tan(\alpha)) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} \right) x^2$

Это уравнение является квадратичной функцией вида $y = bx + ax^2$, где $b = \tan(\alpha)$ и $a = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)}$ — постоянные величины для заданных начальных условий. Графиком такой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $\text{a}$ при $x^2$ отрицателен ($g > 0$, $v_0 > 0$, $\cos^2(\alpha) > 0$).

Ответ: Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту, является квадратичной зависимостью $y(x)$, что соответствует уравнению параболы. Что и требовалось доказать.