Номер 2, страница 5, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 2, страница 5.

Условие.

2. Модуль радиус-вектора, определяющего положение мухи, сидящей на стене, равен 5 м, а координата по оси $\text{OX}$, проведённой из угла комнаты вдоль пола, равна 2,5 м. Определите, на какой высоте находится муха.

Решение.

Дано:

Модуль радиус-вектора, $r = 5$ м

Координата по оси OX, $x = 2,5$ м

Найти:

Высота, на которой находится муха, $\text{h}$

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим ее начало (точку отсчета) в угол комнаты. Ось OX направим вдоль пола, как указано в условии. Ось OY также направим вдоль пола, перпендикулярно оси OX. Ось OZ направим вертикально вверх. В этой системе координат высота, на которой находится муха, будет равна ее координате $\text{z}$.

Поскольку муха сидит на стене, мы можем считать, что она находится в плоскости XOZ. Это означает, что ее координата по оси OY равна нулю, $y=0$. Тогда положение мухи определяется двумя координатами: $\text{x}$ (вдоль пола) и $\text{z}$ (высота). Обозначим высоту как $\text{h}$, то есть $z=h$.

Радиус-вектор $\vec{r}$ — это вектор, проведенный из начала координат к точке положения мухи. Его координаты равны координатам мухи: $(x, 0, h)$.

Модуль (длина) радиус-вектора в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Так как $y=0$ и $z=h$, формула упрощается:

$r = \sqrt{x^2 + h^2}$

Эта формула представляет собой теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного на стене (в плоскости XOZ). Гипотенузой является радиус-вектор $\text{r}$, а катетами — его проекции на оси: координата $\text{x}$ и высота $\text{h}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$r^2 = x^2 + h^2$

Теперь выразим из этого уравнения искомую высоту $\text{h}$:

$h^2 = r^2 - x^2$

$h = \sqrt{r^2 - x^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \sqrt{(5 \text{ м})^2 - (2,5 \text{ м})^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2 - 6,25 \text{ м}^2} = \sqrt{18,75 \text{ м}^2}$

Для удобства вычислений представим $18,75$ в виде дроби:

$18,75 = \frac{75}{4}$

Тогда:

$h = \sqrt{\frac{75}{4}} \text{ м} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}} \text{ м} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{2} \text{ м} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, зная, что $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$h \approx \frac{5 \cdot 1,732}{2} \text{ м} = \frac{8,66}{2} \text{ м} = 4,33 \text{ м}$

Ответ:

Муха находится на высоте $h = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ м, что приблизительно равно $4,33$ м.