Номер 7, страница 6, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 7, страница 6.

Условие.

7. Сложите два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, направленные соответственно вдоль осей $\text{OX}$ и $\text{OY}$. Модули векторов равны 3 и 5,2 м. Определите модуль полученного вектора и угол, который он составляет с осью $\text{OX}$.

Решение.

Дано:

Модуль вектора $\vec{a}$ (направлен вдоль оси OX): $|\vec{a}| = 3$ м

Модуль вектора $\vec{b}$ (направлен вдоль оси OY): $|\vec{b}| = 5,2$ м

Данные приведены в системе СИ.

Найти:

Модуль результирующего вектора $|\vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b}|$

Угол $\alpha$, который вектор $\vec{c}$ составляет с осью OX

Решение:

Результирующий вектор $\vec{c}$ определяется как сумма векторов $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ направлены вдоль осей OX и OY соответственно, они взаимно перпендикулярны. Для нахождения модуля результирующего вектора можно применить теорему Пифагора. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и их сумма $\vec{c}$ образуют прямоугольный треугольник, где модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ являются длинами катетов, а модуль $|\vec{c}|$ — длиной гипотенузы.

Вычисляем модуль вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2} = \sqrt{3^2 + (5,2)^2} = \sqrt{9 + 27,04} = \sqrt{36,04} \approx 6,003$ м.

Округляем результат с учётом количества значащих цифр в исходных данных (две в 5,2): $|\vec{c}| \approx 6,0$ м.

Далее находим угол $\alpha$, который результирующий вектор $\vec{c}$ составляет с осью OX. В образованном прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($|\vec{b}|$) к прилежащему ($|\vec{a}|$).

$\tan(\alpha) = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{5,2}{3} \approx 1,733$

Из этого соотношения находим сам угол:

$\alpha = \arctan\left(1,733\right) \approx 60,02^\circ$

Округлим полученное значение до целых градусов: $\alpha \approx 60^{\circ}$.

Ответ: модуль полученного вектора приблизительно равен 6,0 м, угол, который он составляет с осью OX, приблизительно равен $60^{\circ}$.