Номер 10, страница 6, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 10, страница 6.

Условие.

10. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ проведены из начала координат и направлены под углом $90^{\circ}$ друг к другу, при этом вектор $\vec{a}$ составляет с осью $\text{OX}$ угол $30^{\circ}$. Модули векторов равны соответственно $\text{4}$ и $\text{5}$ м. Определите проекции векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на оси $\text{OX}$ и $\text{OY}$.

Решение.

Дано:

$|\vec{a}| = 4$ м

$|\vec{b}| = 5$ м

Угол между вектором $\vec{a}$ и осью OX: $\alpha = 30^\circ$

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\gamma = 90^\circ$

Найти:

Проекции векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на оси OX и OY: $a_x, a_y, b_x, b_y$

Решение:

Проекции вектора на координатные оси OX и OY находятся по формулам:

$V_x = |\vec{V}| \cos \theta$

$V_y = |\vec{V}| \sin \theta$

где $|\vec{V}|$ - модуль вектора, а $\theta$ - угол между вектором и положительным направлением оси OX.

1. Определение проекций вектора $\vec{a}$

Для вектора $\vec{a}$ известен его модуль $|\vec{a}| = 4$ м и угол с осью OX $\alpha = 30^\circ$.

Проекция на ось OX:

$a_x = |\vec{a}| \cos \alpha = 4 \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3,46$ м

Проекция на ось OY:

$a_y = |\vec{a}| \sin \alpha = 4 \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ м

2. Определение проекций вектора $\vec{b}$

Вектор $\vec{b}$ перпендикулярен вектору $\vec{a}$. Это означает, что угол $\beta$, который вектор $\vec{b}$ составляет с осью OX, может быть двух значений: на $90^\circ$ больше или на $90^\circ$ меньше угла $\alpha$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол вектора $\vec{b}$ равен $\beta_1 = \alpha + 90^\circ$.

$\beta_1 = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$

Проекция на ось OX:

$b_x = |\vec{b}| \cos \beta_1 = 5 \cdot \cos 120^\circ = 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2,5$ м

Проекция на ось OY:

$b_y = |\vec{b}| \sin \beta_1 = 5 \cdot \sin 120^\circ = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2,5\sqrt{3} \approx 4,33$ м

Случай 2: Угол вектора $\vec{b}$ равен $\beta_2 = \alpha - 90^\circ$.

$\beta_2 = 30^\circ - 90^\circ = -60^\circ$

Проекция на ось OX:

$b_x = |\vec{b}| \cos \beta_2 = 5 \cdot \cos(-60^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$ м

Проекция на ось OY:

$b_y = |\vec{b}| \sin \beta_2 = 5 \cdot \sin(-60^\circ) = 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2,5\sqrt{3} \approx -4,33$ м

Ответ:

Проекции вектора $\vec{a}$: $a_x = 2\sqrt{3} \approx 3,46$ м, $a_y = 2$ м.

Проекции вектора $\vec{b}$ могут быть двух вариантов:

1) $b_x = -2,5$ м, $b_y = 2,5\sqrt{3} \approx 4,33$ м.

2) $b_x = 2,5$ м, $b_y = -2,5\sqrt{3} \approx -4,33$ м.