Номер 8, страница 6, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 8, страница 6.

Условие.

8. На рисунке 1 изображены три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

а) Сложите векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

б) Сложите векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

в) Сложите векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Определите модули полученных векторов, если $|\vec{a}| = 3$ м, $|\vec{b}| = 4$ м, $|\vec{c}| = 1$ м.

Рис. 1

Решение.

Дано:

$|\vec{a}| = 3$ м

$|\vec{b}| = 4$ м

$|\vec{c}| = 1$ м

Вектор $\vec{a}$ направлен вертикально вверх.

Вектор $\vec{b}$ направлен горизонтально вправо.

Вектор $\vec{c}$ направлен вертикально вниз.

Все данные находятся в системе СИ.

Найти:

а) $|\vec{a} + \vec{b}|$

б) $|\vec{b} + \vec{c}|$

в) $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Тогда координаты векторов будут:

$\vec{a} = (0; 3)$

$\vec{b} = (4; 0)$

$\vec{c} = (0; -1)$

Для нахождения суммы векторов сложим их соответствующие координаты. Для нахождения модуля результирующего вектора $\vec{r} = (x; y)$ воспользуемся формулой $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

а) Сложите векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найдем результирующий вектор $\vec{r}_{ab} = \vec{a} + \vec{b}$.

$\vec{r}_{ab} = (0+4; 3+0) = (4; 3)$

Модуль результирующего вектора: так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, их сумму можно найти по теореме Пифагора.

$|\vec{r}_{ab}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ м.

Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$ м.

б) Сложите векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Найдем результирующий вектор $\vec{r}_{bc} = \vec{b} + \vec{c}$.

$\vec{r}_{bc} = (4+0; 0+(-1)) = (4; -1)$

Модуль результирующего вектора: векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ также перпендикулярны.

$|\vec{r}_{bc}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ м.

Ответ: $|\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{17}$ м.

в) Сложите векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Найдем результирующий вектор $\vec{r}_{abc} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

$\vec{r}_{abc} = (0+4+0; 3+0+(-1)) = (4; 2)$

Модуль результирующего вектора равен:

$|\vec{r}_{abc}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ м.

Другой способ: сначала сложим коллинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$. Так как они противоположно направлены, их сумма $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c}$ будет направлена в сторону большего вектора ($\vec{a}$), а её модуль будет равен разности модулей: $|\vec{d}| = |\vec{a}| - |\vec{c}| = 3 - 1 = 2$ м. Затем к вектору $\vec{d}$ прибавим перпендикулярный ему вектор $\vec{b}$. Модуль их суммы $|\vec{d} + \vec{b}|$ найдем по теореме Пифагора: $|\vec{d} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{d}|^2 + |\vec{b}|^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ м.

Ответ: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{20}$ м (или $2\sqrt{5}$ м).