Номер 9, страница 6, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 9, страница 6.

Условие.

9. Точка A имеет координаты $x_A = 1 \text{ м}, y_A = 1 \text{ м}$, точка B – координаты $x_B = 4 \text{ м}, y_B = -2 \text{ м}$. Определите модуль вектора, соединяющего точки A и B, его проекции на оси $\text{OX}$ и $\text{OY}$, а также угол, который он составляет с осью $\text{OX}$.

Решение.

Дано:

Координаты точки A: $x_A = 1$ м, $y_A = 1$ м

Координаты точки B: $x_B = 4$ м, $y_B = -2$ м

Найти:

Проекции вектора $\vec{AB}$ на оси OX и OY: $AB_x, AB_y$

Модуль вектора $\vec{AB}$: $|\vec{AB}|$

Угол $\alpha$, который вектор $\vec{AB}$ составляет с осью OX

Решение:

1. Найдем проекции вектора $\vec{AB}$, соединяющего точки A и B. Проекции вектора находятся как разность соответствующих координат конца (B) и начала (A) вектора.

Проекция на ось OX:

$AB_x = x_B - x_A = 4 \text{ м} - 1 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Проекция на ось OY:

$AB_y = y_B - y_A = -2 \text{ м} - 1 \text{ м} = -3 \text{ м}$

2. Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ вычисляется по теореме Пифагора, используя его проекции:

$|\vec{AB}| = \sqrt{AB_x^2 + AB_y^2}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{(3 \text{ м})^2 + (-3 \text{ м})^2} = \sqrt{9 \text{ м}^2 + 9 \text{ м}^2} = \sqrt{18 \text{ м}^2} = \sqrt{9 \cdot 2} \text{ м} = 3\sqrt{2} \text{ м}$

Приблизительное значение модуля: $|\vec{AB}| \approx 3 \cdot 1.414 \text{ м} \approx 4.24 \text{ м}$

3. Угол $\alpha$, который вектор составляет с положительным направлением оси OX, можно найти через тангенс этого угла, который равен отношению проекции на ось OY к проекции на ось OX.

$\tan(\alpha) = \frac{AB_y}{AB_x} = \frac{-3}{3} = -1$

Чтобы определить угол однозначно, учтем знаки проекций. Проекция на ось OX положительна ($AB_x > 0$), а проекция на ось OY отрицательна ($AB_y < 0$). Это означает, что вектор находится в IV координатной четверти.

Угол, тангенс которого равен -1, и который лежит в IV четверти, равен:

$\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ или $\alpha = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$

Ответ: Проекции вектора на оси: $AB_x = 3$ м, $AB_y = -3$ м. Модуль вектора: $|\vec{AB}| = 3\sqrt{2}$ м $\approx 4.24$ м. Угол, который вектор составляет с осью OX: $\alpha = -45^\circ$ (или $315^\circ$).