Номер 11, страница 6, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 11, страница 6.

Условие.

11. В чём разница между составляющими вектора по двум заданным неколлинеарным направлениям и проекциями вектора на эти направления?

Решение.

Составляющие вектора по двум заданным неколлинеарным направлениям — это пара векторов, параллельных этим направлениям, векторная сумма которых равна исходному вектору. Если есть вектор $\vec{a}$ и два неколлинеарных направления, то его можно разложить на составляющие $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ так, что $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ параллельны этим направлениям, и выполняется равенство $\vec{a} = \vec{a_1} + \vec{a_2}$. Геометрически составляющие находятся по правилу параллелограмма: исходный вектор является диагональю параллелограмма, а составляющие — его сторонами, построенными на заданных направлениях.

Проекция вектора на направление (ось) — это скалярная величина, которая определяется путем ортогонального (перпендикулярного) проецирования начала и конца вектора на эту ось. Если $\alpha$ — угол между вектором $\vec{a}$ и осью, то проекция вектора на эту ось вычисляется по формуле $a_{пр} = |\vec{a}| \cos \alpha$. Проекция может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Важно, что для нахождения проекции используется перпендикуляр, опущенный из конца вектора на ось.

Основное различие между этими понятиями заключается в методе их определения и в их природе. Составляющие — это векторы, получаемые разложением по правилу параллелограмма. Проекции — это скаляры, получаемые с помощью ортогонального проецирования. В общем случае, когда заданные направления не являются перпендикулярными, модуль составляющей вектора не равен его проекции на то же направление. Векторная сумма составляющих всегда равна исходному вектору, в то время как векторная сумма векторов, построенных на основе проекций на неортогональные оси, в общем случае не равна исходному вектору.

Составляющие и проекции вектора совпадают (точнее, модуль составляющей становится равным проекции) только в одном частном, но очень важном случае: когда два заданных направления взаимно перпендикулярны (ортогональны). В этой ситуации параллелограмм разложения становится прямоугольником, и построение по правилу параллелограмма дает тот же результат, что и ортогональное проецирование.

Ответ: Разница заключается в том, что составляющие — это векторы, которые находятся по правилу параллелограмма, и их векторная сумма всегда равна исходному вектору. Проекции — это скалярные величины, которые находятся путем опускания перпендикуляров на оси. Понятия составляющих и проекций совпадают (модуль составляющей равен проекции) только в случае, когда направления (оси) взаимно перпендикулярны.