Номер 18, страница 7, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Системы отсчёта. Перемещение - номер 18, страница 7.

Условие.

18. Длина подвеса маятниковых часов равна 15 см. Определите модуль перемещения конца маятника, а также длину его пути за 5,25 с. Максимальный угол отклонения подвеса равен 15°. Учтите, что одно полное колебание маятник совершает за одну секунду.

Решение.

Дано:

Длина подвеса, $L = 15$ см

Время, $t = 5,25$ с

Максимальный угол отклонения, $\alpha_{max} = 15^\circ$

Период колебаний, $T = 1$ с

В системе СИ:

$L = 0,15$ м

Найти:

Модуль перемещения, $|\Delta\vec{r}|$

Длина пути, $\text{S}$

Решение:

Определим количество колебаний $\text{N}$, которое совершит маятник за указанное время $\text{t}$:

$N = \frac{t}{T} = \frac{5,25 \text{ с}}{1 \text{ с}} = 5,25$

Таким образом, маятник совершает 5 полных колебаний и еще четверть ($0,25$) одного колебания.

Модуль перемещения конца маятника

Перемещение – это вектор, направленный из начального положения тела в его конечное положение. За каждое полное колебание маятник возвращается в исходную точку, поэтому перемещение за 5 полных колебаний равно нулю. Следовательно, итоговое перемещение за 5,25 с будет равно перемещению за последние 0,25 периода.

Предположим, что колебания начинаются из положения максимального отклонения. За четверть периода ($T/4$) маятник переместится из крайнего положения в положение равновесия. Модуль перемещения будет равен длине хорды, соединяющей эти две точки.

Эту длину можно найти по теореме косинусов для треугольника, образованного точкой подвеса и двумя положениями конца маятника. Две стороны этого треугольника равны длине подвеса $\text{L}$, а угол между ними равен $\alpha_{max}$.

$|\Delta\vec{r}|^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\alpha_{max}) = 2L^2(1 - \cos(\alpha_{max}))$

Применив формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим:

$|\Delta\vec{r}|^2 = 2L^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha_{max}}{2}) = 4L^2\sin^2(\frac{\alpha_{max}}{2})$

Отсюда находим модуль перемещения:

$|\Delta\vec{r}| = 2L\sin(\frac{\alpha_{max}}{2})$

Подставляем числовые значения:

$|\Delta\vec{r}| = 2 \cdot 0,15 \text{ м} \cdot \sin(\frac{15^\circ}{2}) = 0,3 \cdot \sin(7,5^\circ) \approx 0,3 \cdot 0,1305 \approx 0,03915 \text{ м}$

Ответ: Модуль перемещения конца маятника за 5,25 с составляет примерно 3,9 см.

Длина его пути

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории движения. За одно полное колебание маятник проходит расстояние, равное четырем длинам дуги от положения равновесия до максимального отклонения (амплитуда колебаний по дуге).

Длина дуги, соответствующая максимальному отклонению $s_A$, вычисляется по формуле:

$s_A = L \cdot \alpha_{max\_rad}$

где $\alpha_{max\_rad}$ – максимальный угол отклонения, выраженный в радианах. Переведем $15^\circ$ в радианы:

$\alpha_{max\_rad} = 15^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{12}$ рад.

Путь, пройденный за одно полное колебание $S_T$:

$S_T = 4s_A = 4 L \alpha_{max\_rad} = 4 \cdot 0,15 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{12} = 0,6 \cdot \frac{\pi}{12} = 0,05\pi$ м.

За $N=5,25$ колебаний маятник пройдет общий путь $\text{S}$:

$S = N \cdot S_T = 5,25 \cdot 0,05\pi \text{ м} = 0,2625\pi$ м.

Вычислим числовое значение:

$S \approx 0,2625 \cdot 3,1416 \approx 0,8247$ м.

Ответ: Длина пути конца маятника за 5,25 с составляет примерно 82,5 см.