Номер 21, страница 7, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Системы отсчёта. Перемещение - номер 21, страница 7.

Условие.

21. На средней линии штрафной площадки футбольного поля, расположенной на расстоянии $20 \text{ м}$ от линии ворот, находятся два игрока. Первый игрок посылает мяч вдоль поля в ворота, вратарь отбивает мяч под углом $30^{\circ}$ к начальной траектории, и он долетает до второго игрока. Определите модуль перемещения и длину пути мяча.

Решение.

Дано:

Расстояние от игроков до линии ворот, $d = 20$ м

Угол отклонения мяча, $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Модуль перемещения мяча, $|\vec{s}|$ - ?

Длина пути мяча, $\text{L}$ - ?

Решение:

Введем систему координат. Пусть вратарь находится в начале координат, в точке G(0, 0), а линия ворот совпадает с осью Ox. Поскольку первый игрок бьет по мячу "вдоль поля в ворота", будем считать, что его удар направлен перпендикулярно линии ворот. Тогда начальное положение мяча (и первого игрока) находится в точке A с координатами (0, 20). Мяч летит от точки A к точке G.

Вратарь отбивает мяч, и тот летит ко второму игроку, который находится на той же линии, что и первый, то есть на прямой $y = 20$. Обозначим положение второго игрока как точку B с координатами ($x_B$, 20).

Таким образом, траектория движения мяча состоит из двух отрезков: AG и GB. Точки A(0, 20), G(0, 0) и B($x_B$, 20) образуют прямоугольный треугольник AGB с прямым углом при вершине A.

В этом треугольнике:

• Катет AG — это расстояние от первого игрока до вратаря, $AG = 20$ м.
• Угол $\angle AGB$ — это угол, на который вратарь отклонил мяч от начальной траектории, то есть $\angle AGB = \alpha = 30^\circ$.
• Катет AB — это расстояние между первым и вторым игроками. Этот отрезок соединяет начальную и конечную точки движения мяча, следовательно, его длина и есть модуль перемещения.
• Гипотенуза GB — это расстояние, которое пролетел мяч после удара вратаря.

Модуль перемещения

Модуль перемещения $|\vec{s}|$ равен длине отрезка AB. В прямоугольном треугольнике AGB мы можем найти катет AB, зная противолежащий катет AG и угол $\alpha$.

Используем тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{AB}{AG}$

Отсюда выражаем AB:

$|\vec{s}| = AB = AG \cdot \tan(\alpha) = 20 \cdot \tan(30^\circ)$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$|\vec{s}| = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 11,55$ м.

Ответ: Модуль перемещения мяча равен $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ м, что приблизительно составляет 11,55 м.

Длина пути

Длина пути $\text{L}$ — это скалярная величина, равная сумме длин всех участков траектории. В данном случае, это сумма длин отрезков AG и GB.

$L = S_1 + S_2 = AG + GB$

Длина первого участка пути $S_1 = AG = 20$ м.

Длину второго участка $S_2 = GB$ найдем из того же прямоугольного треугольника AGB. GB является гипотенузой. Используем косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{AG}{GB}$

Отсюда выражаем GB:

$S_2 = GB = \frac{AG}{\cos(\alpha)} = \frac{20}{\cos(30^\circ)}$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_2 = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ м.

Теперь найдем общую длину пути:

$L = AG + GB = 20 + \frac{40\sqrt{3}}{3} = 20\left(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ м.

Вычислим приближенное значение:

$L \approx 20 + \frac{40 \cdot 1,732}{3} \approx 20 + 23,09 = 43,09$ м.

Ответ: Длина пути мяча равна $20 + \frac{40\sqrt{3}}{3}$ м, что приблизительно составляет 43,09 м.