Номер 22, страница 7, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Равномерное прямолинейное движение - номер 22, страница 7.

Условие.

22. Запишите в векторной и скалярной формах уравнение движения точки, если она движется в положительном направлении оси OX со скоростью 2 м/с. В начальный момент времени точка находилась на расстоянии 1 м от начала координат.

Решение.

Дано:

Движение точки вдоль оси OX.
Скорость точки: $v = 2$ м/с.
Направление движения: положительное направление оси ОХ.
Начальная координата (при $t=0$): $x_0 = 1$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнение движения в скалярной форме $x(t)$.
Уравнение движения в векторной форме $\vec{r}(t)$.

Решение:

Поскольку скорость точки постоянна по модулю и направлению, движение является равномерным и прямолинейным. Общее уравнение для такого движения связывает координату (или радиус-вектор) точки со временем.

Скалярная форма

Уравнение равномерного прямолинейного движения в скалярной форме (в проекции на ось OX) имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_x t$

где $x_0$ — начальная координата точки, а $v_x$ — проекция её скорости на ось OX.

Согласно условию задачи:

• Начальная координата $x_0 = 1$ м.
• Точка движется в положительном направлении оси OX, следовательно, проекция скорости на эту ось положительна и равна модулю скорости: $v_x = v = 2$ м/с.

Подставляя эти значения в общее уравнение, получаем искомое уравнение движения в скалярной форме:

$x(t) = 1 + 2t$

В этом уравнении координата $\text{x}$ выражена в метрах, а время $\text{t}$ — в секундах.

Ответ: $x(t) = 1 + 2t$ (в СИ).

Векторная форма

Уравнение равномерного прямолинейного движения в векторной форме имеет вид:

$\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v}t$

где $\vec{r_0}$ — радиус-вектор начального положения точки, а $\vec{v}$ — вектор её скорости.

Поскольку движение происходит вдоль оси OX, выразим векторы через единичный вектор (орт) этой оси $\vec{i}$:

• Радиус-вектор начального положения: $\vec{r_0} = x_0 \vec{i} = 1 \cdot \vec{i}$ м.
• Вектор скорости: $\vec{v} = v_x \vec{i} = 2 \vec{i}$ м/с.

Подставим векторные выражения в общее уравнение:

$\vec{r}(t) = 1 \cdot \vec{i} + (2 \vec{i})t$

Вынесем орт $\vec{i}$ за скобки, чтобы получить конечное выражение:

$\vec{r}(t) = (1 + 2t)\vec{i}$

В этом уравнении модуль радиус-вектора $\vec{r}$ выражен в метрах, а время $\text{t}$ — в секундах.

Ответ: $\vec{r}(t) = (1 + 2t)\vec{i}$ (в СИ).