Номер 19, страница 7, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Системы отсчёта. Перемещение - номер 19, страница 7.

Условие.

19. Конёк фигуриста «выписывает» восьмёрку, состоящую из двух окружностей радиусами 1,5 и 2 м. Вначале конёк находится в точке O. Определите длину пути и модуль перемещения в те моменты времени, когда конёк оказывается в точках A, B, C и опять в точке O (рис. 3).

Рис. 3

Решение.

Дано:

$r_1 = 1,5$ м (радиус малой окружности)

$r_2 = 2$ м (радиус большой окружности)

Найти:

Длину пути $\text{S}$ и модуль перемещения $|\vec{s}|$ для точек A, B, C и O.

Решение:

Примем точку °за начало отсчета. Движение конька происходит по траектории, указанной стрелками на рисунке: сначала по малой окружности (°→ A → O), затем по большой (°→ C → B → O).

Путь – это скалярная величина, равная длине пройденной траектории. Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между начальной и конечной точками. Начальной точкой во всех случаях является точка O.

В точке А

Чтобы оказаться в точке A, конёк должен пройти половину малой окружности. Точка А является диаметрально противоположной точке О на малой окружности.

Длина пути $S_A$ равна половине длины малой окружности ($C_1 = 2\pi r_1$):

$S_A = \frac{1}{2} C_1 = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r_1 = \pi r_1 = \pi \cdot 1,5 = 1,5\pi \approx 4,71$ м.

Модуль перемещения $|\vec{s}_A|$ равен расстоянию по прямой между точками О и А, что соответствует диаметру малой окружности:

$|\vec{s}_A| = 2r_1 = 2 \cdot 1,5 = 3$ м.

Ответ: Длина пути $S_A = 1,5\pi \approx 4,71$ м, модуль перемещения $|\vec{s}_A| = 3$ м.

В точке B

Чтобы попасть в точку B, конёк, согласно траектории, должен сначала полностью проехать малую окружность (°→ A → O), а затем пройти половину большой окружности (°→ C → B). Точка B является диаметрально противоположной точке О на большой окружности.

Длина пути $S_B$ равна сумме длины малой окружности ($C_1$) и половины длины большой окружности ($C_2 = 2\pi r_2$):

$S_B = C_1 + \frac{1}{2} C_2 = 2\pi r_1 + \frac{1}{2} \cdot 2\pi r_2 = 2\pi r_1 + \pi r_2 = \pi(2r_1 + r_2) = \pi(2 \cdot 1,5 + 2) = 5\pi \approx 15,71$ м.

Модуль перемещения $|\vec{s}_B|$ равен расстоянию по прямой между начальной точкой О и конечной точкой B, что соответствует диаметру большой окружности:

$|\vec{s}_B| = 2r_2 = 2 \cdot 2 = 4$ м.

Ответ: Длина пути $S_B = 5\pi \approx 15,71$ м, модуль перемещения $|\vec{s}_B| = 4$ м.

В точке C

Чтобы попасть в точку C, конёк должен сначала полностью проехать малую окружность (°→ A → O), а затем пройти четверть большой окружности.

Длина пути $S_C$ равна сумме длины малой окружности и четверти длины большой окружности:

$S_C = C_1 + \frac{1}{4} C_2 = 2\pi r_1 + \frac{1}{4} \cdot 2\pi r_2 = 2\pi r_1 + \frac{\pi r_2}{2} = \pi(2r_1 + \frac{r_2}{2}) = \pi(2 \cdot 1,5 + \frac{2}{2}) = 4\pi \approx 12,57$ м.

Для нахождения модуля перемещения $|\vec{s}_C|$ расположим начало координат в точке О, а ось OY направим вертикально вверх. Центр большой окружности будет в точке $(0, -r_2)$. Точка С, в которую конёк попадает, пройдя четверть окружности от точки О, будет иметь координаты $(-r_2, -r_2)$. Расстояние по прямой от О(0, 0) до С(-$r_2$, -$r_2$) найдем по теореме Пифагора:

$|\vec{s}_C| = \sqrt{(-r_2 - 0)^2 + (-r_2 - 0)^2} = \sqrt{r_2^2 + r_2^2} = \sqrt{2r_2^2} = r_2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ м.

Ответ: Длина пути $S_C = 4\pi \approx 12,57$ м, модуль перемещения $|\vec{s}_C| = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ м.

Опять в точке O

Чтобы снова оказаться в точке O, конёк должен проехать всю "восьмёрку", то есть обе окружности полностью.

Длина пути $S_O$ равна сумме длин обеих окружностей:

$S_°= C_1 + C_2 = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = 2\pi(r_1 + r_2) = 2\pi(1,5 + 2) = 7\pi \approx 21,99$ м.

Так как начальная и конечная точки совпадают, перемещение равно нулю, и модуль перемещения также равен нулю:

$|\vec{s}_O| = 0$ м.

Ответ: Длина пути $S_°= 7\pi \approx 21,99$ м, модуль перемещения $|\vec{s}_O| = 0$ м.