Номер 17, страница 7, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Системы отсчёта. Перемещение - номер 17, страница 7.

Условие.

17. Для подъема груза рабочий использует рычаг длиной 1,5 м. Груз находится на расстоянии 0,5 м от конца A (рис. 2). Определите перемещение и длину пути груза и точки B рычага при подъеме груза на высоту $h = 25 \text{ см}$.

Рис. 2

Решение.

Дано

Длина рычага $L = 1,5$ м

Расстояние от точки опоры А до груза $l_1 = 0,5$ м

Высота подъема груза $h = 25$ см

В системе СИ:

$h = 0,25$ м

Найти:

Перемещение груза $S_{груза}$

Путь груза $s_{груза}$

Перемещение точки В $S_B$

Путь точки В $s_B$

Решение

Согласно рисунку, точка А является точкой опоры, то есть осью вращения рычага. При подъеме груза все точки рычага поворачиваются на один и тот же угол $\alpha$.

Найдем этот угол, используя данные для груза. Груз находится на расстоянии $l_1$ от оси вращения и поднимается на высоту $\text{h}$. Из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является плечо рычага $l_1$, а катетом — высота подъема $\text{h}$, найдем синус угла поворота:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l_1} = \frac{0,25 \text{ м}}{0,5 \text{ м}} = 0,5$

Следовательно, угол поворота рычага $\alpha = 30^\circ$.

Для вычисления длины пути переведем угол в радианы:

$\alpha = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}$ рад.

Теперь можем определить перемещение и путь для груза и точки В.

Перемещение и длина пути груза

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения груза в данном случае равен высоте его подъема $\text{h}$.

$S_{груза} = h = 0,25$ м.

Путь — это длина траектории. Груз движется по дуге окружности радиусом $l_1$. Длина этой дуги вычисляется по формуле $s = r \cdot \alpha$, где $\alpha$ — угол в радианах.

$s_{груза} = l_1 \cdot \alpha = 0,5 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{6} \text{ рад} \approx 0,5 \cdot \frac{3,1416}{6} \approx 0,262$ м.

Ответ: перемещение груза составляет 0,25 м, а пройденный им путь ≈ 0,262 м.

Перемещение и длина пути точки В

Точка В находится на другом конце рычага, то есть на расстоянии $\text{L}$ от оси вращения А. Она поворачивается на тот же угол $\alpha = 30^\circ$.

Путь, пройденный точкой В, — это длина дуги окружности радиусом $\text{L}$.

$s_B = L \cdot \alpha = 1,5 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{6} \text{ рад} = \frac{\pi}{4} \text{ м} \approx \frac{3,1416}{4} \approx 0,785$ м.

Перемещение точки В — это длина хорды, стягивающей дугу, по которой двигалась точка В. Модуль перемещения можно найти как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $\text{L}$ и углом при вершине $\alpha$.

$S_B = 2 \cdot L \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$

Подставим значения:

$S_B = 2 \cdot 1,5 \text{ м} \cdot \sin(\frac{30^\circ}{2}) = 3 \cdot \sin(15^\circ) \approx 3 \cdot 0,2588 \approx 0,776$ м.

Ответ: перемещение точки В составляет ≈ 0,776 м, а пройденный ею путь ≈ 0,785 м.