Номер 5, страница 5, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 5, страница 5.

Условие.

5. Радиус-вектор, определяющий положение точки $\text{A}$ на плоскости $XOY$, составляет угол $60^\circ$ с осью $\text{OX}$. Модуль вектора $\vec{r}_A$ равен 5 м. Модуль радиус-вектора $\vec{r}_{AB}$, определяющего положение точки $\text{B}$ относительно точки $\text{A}$, равен 1,83 м, а его проекции на оси $\text{OX}$ и $\text{OY}$ равны соответственно 1,83 м и 0. Определите модуль вектора $\vec{r}_B$ и угол, который он составляет с осью $\text{OX}$.

Решение.

Дано:

$r_A = 5$ м

$\alpha = 60°$

$r_{AB} = 1,83$ м

$r_{ABx} = 1,83$ м

$r_{ABy} = 0$ м

Найти:

$r_B$ - ?

$\beta$ - ?

Решение:

Радиус-вектор, определяющий положение точки B, ($\vec{r}_B$) является результатом сложения радиус-вектора точки A ($\vec{r}_A$) и вектора, определяющего положение точки B относительно точки A ($\vec{r}_{AB}$). Это можно записать в виде векторного уравнения:

$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{AB}$

Для того чтобы сложить векторы, найдем их проекции на координатные оси OX и OY.

1. Проекции вектора $\vec{r}_A$. Модуль вектора равен $r_A = 5$ м, а угол с осью OX равен $\alpha = 60°$.

$r_{Ax} = r_A \cdot \cos \alpha = 5 \cdot \cos 60° = 5 \cdot 0,5 = 2,5$ м

$r_{Ay} = r_A \cdot \sin \alpha = 5 \cdot \sin 60° = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5 \cdot 0,866 = 4,33$ м

2. Проекции вектора $\vec{r}_{AB}$ даны в условии задачи:

$r_{ABx} = 1,83$ м

$r_{ABy} = 0$ м

3. Проекции результирующего вектора $\vec{r}_B$ равны сумме соответствующих проекций векторов $\vec{r}_A$ и $\vec{r}_{AB}$:

$r_{Bx} = r_{Ax} + r_{ABx} = 2,5 + 1,83 = 4,33$ м

$r_{By} = r_{Ay} + r_{ABy} = 4,33 + 0 = 4,33$ м

4. Теперь, зная проекции вектора $\vec{r}_B$, мы можем найти его модуль по теореме Пифагора:

$r_B = \sqrt{r_{Bx}^2 + r_{By}^2} = \sqrt{(4,33)^2 + (4,33)^2} = \sqrt{2 \cdot (4,33)^2} = 4,33 \cdot \sqrt{2} \approx 6,12$ м

5. Угол $\beta$, который вектор $\vec{r}_B$ составляет с осью OX, можно найти через тангенс этого угла, который равен отношению противолежащего катета ($r_{By}$) к прилежащему ($r_{Bx}$):

$\tan \beta = \frac{r_{By}}{r_{Bx}} = \frac{4,33}{4,33} = 1$

Следовательно, угол $\beta$ равен:

$\beta = \arctan(1) = 45°$

Ответ: модуль вектора $\vec{r}_B$ равен $r_B \approx 6,12$ м, угол, который он составляет с осью OX, равен $\beta = 45°$.