Номер 4, страница 5, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Положение точки в пространстве. Векторные величины - номер 4, страница 5.

Условие.

4. Координаты двух шаров на бильярдном столе $x_1 = 1$ м, $y_1 = 2$ м и $x_2 = 2$ м, $y_2 = 3$ м. Ось OX направлена вдоль короткого края стола, а начало координат совмещено с углом стола. Определите:

1) расстояние между центрами шаров;

2) под каким углом к оси OX надо направить кий, чтобы при ударе ближний шар попал в дальний (удар считайте центральным).

Решение.

Дано:

Координаты первого шара: $x_1 = 1$ м, $y_1 = 2$ м

Координаты второго шара: $x_2 = 2$ м, $y_2 = 3$ м

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

1) $\text{d}$ - расстояние между центрами шаров;

2) $\alpha$ - угол к оси OX, под которым надо направить кий.

Решение:

1) расстояние между центрами шаров

Расстояние $\text{d}$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ в декартовой системе координат находится по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Сначала найдем разности координат по осям OX и OY:

$\Delta x = x_2 - x_1 = 2 \text{ м} - 1 \text{ м} = 1 \text{ м}$

$\Delta y = y_2 - y_1 = 3 \text{ м} - 2 \text{ м} = 1 \text{ м}$

Теперь подставим эти значения в формулу для расстояния:

$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(1 \text{ м})^2 + (1 \text{ м})^2} = \sqrt{1 \text{ м}^2 + 1 \text{ м}^2} = \sqrt{2 \text{ м}^2} = \sqrt{2} \text{ м}$

Вычислим численное значение:

$d \approx 1,414$ м

Ответ: Расстояние между центрами шаров равно $\sqrt{2}$ м, или приблизительно 1,414 м.

2) под каким углом к оси ОХ надо направить кий, чтобы при ударе ближний шар попал в дальний

Для того чтобы один шар после центрального удара попал в другой, вектор скорости первого шара должен быть направлен точно по линии, соединяющей центры этих двух шаров. Нам нужно найти угол $\alpha$, который эта линия образует с положительным направлением оси OX.

Этот угол можно найти через тангенс, который равен отношению противолежащего катета ($\Delta y$) к прилежащему катету ($\Delta x$) в прямоугольном треугольнике, образованном проекциями отрезка, соединяющего шары, на оси координат.

$\tan(\alpha) = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Используя найденные ранее значения $\Delta x = 1$ м и $\Delta y = 1$ м:

$\tan(\alpha) = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 1$

Угол $\alpha$, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: Кий надо направить под углом $45^\circ$ к оси OX.