Номер 346, страница 50 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

346*. Шарик массой $m = 100$ г, подвешенный на нити длиной $l = 40$ см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия $E_{\text{к}}$ шарика, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол $\alpha = 60^{\circ}$?

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$l = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$E_k$

Решение:

Шарик, подвешенный на нити и описывающий окружность в горизонтальной плоскости, является коническим маятником. На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити.

Разложим силу натяжения $T$ на вертикальную ($T_y$) и горизонтальную ($T_x$) составляющие. Угол $\alpha$ — это угол между нитью и вертикалью.

В вертикальном направлении движение отсутствует, поэтому вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу тяжести:

$T_y = T \cos(\alpha) = mg$

Отсюда можно выразить силу натяжения нити:

$T = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$ (1)

В горизонтальном направлении на шарик действует горизонтальная составляющая силы натяжения, которая является центростремительной силой. Она сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c$. Согласно второму закону Ньютона:

$T_x = T \sin(\alpha) = ma_c$

Центростремительное ускорение для движения по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$ равно $a_c = \frac{v^2}{r}$. Радиус окружности $r$ можно найти из геометрии маятника: $r = l \sin(\alpha)$.

Подставим выражение для $a_c$:

$T \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}$ (2)

Теперь подставим выражение для силы натяжения $T$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$\frac{mg}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}$

Так как $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$, уравнение примет вид:

$mg \tan(\alpha) = m \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}$

Сократим массу $m$ и выразим квадрат скорости $v^2$:

$v^2 = gl \sin(\alpha) \tan(\alpha) = gl \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Кинетическая энергия шарика вычисляется по формуле $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Подставим в неё полученное выражение для $v^2$:

$E_k = \frac{1}{2}m \left( gl \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \right) = \frac{mgl \sin^2(\alpha)}{2 \cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения, принимая ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$E_k = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.4 \cdot \frac{3}{4}}{1} = 0.392 \cdot 0.75 = 0.294 \text{ Дж}$

Ответ: $E_k = 0.294 \text{ Дж}$.