Номер 339, страница 50 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

339. Какую работу надо совершить, чтобы из колодца глубиной 10 м поднять ведро с водой массой 8 кг на тросе, каждый метр которого имеет массу 400 г?

Дано:

Глубина колодца, $h = 10$ м

Масса ведра с водой, $m_в = 8$ кг

Линейная плотность троса, $\rho_т = 400$ г/м

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$\rho_т = 400 \text{ г/м} = 0.4$ кг/м

Найти:

Работу, $A$

Решение:

Работа, которую необходимо совершить для подъема ведра на тросе, складывается из двух частей: работы по подъему ведра с водой ($A_в$) и работы по подъему самого троса ($A_т$).

$A = A_в + A_т$

1. Работа по подъему ведра с водой. Сила тяжести, действующая на ведро, постоянна на всей высоте подъема. Работа вычисляется по формуле:

$A_в = F_в \cdot h = m_в \cdot g \cdot h$

Подставим числовые значения:

$A_в = 8 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 10 \text{ м} = 800 \text{ Дж}$

2. Работа по подъему троса. По мере подъема ведра длина части троса, которую нужно поднимать, уменьшается. Следовательно, сила, прикладываемая для подъема троса, не является постоянной. Работа по подъему тела переменной массы (в данном случае, уменьшающейся длины троса) равна изменению его потенциальной энергии. Потенциальная энергия однородного стержня (каким мы можем считать трос) определяется высотой его центра масс.

Сначала найдем полную массу троса:

$m_т = \rho_т \cdot h = 0.4 \text{ кг/м} \cdot 10 \text{ м} = 4 \text{ кг}$

В начальном положении, когда трос полностью размотан, его центр масс находится на середине длины, то есть на глубине $h/2$ от поверхности. При полном подъеме весь трос оказывается наверху, и его центр масс поднимается на высоту $h_{ц.м.} = h/2$.

Таким образом, работа по подъему троса равна:

$A_т = m_т \cdot g \cdot h_{ц.м.} = m_т \cdot g \cdot \frac{h}{2}$

Подставим числовые значения:

$A_т = 4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot \frac{10 \text{ м}}{2} = 40 \cdot 5 = 200 \text{ Дж}$

3. Общая работа равна сумме работ по подъему ведра и троса:

$A = A_в + A_т = 800 \text{ Дж} + 200 \text{ Дж} = 1000 \text{ Дж}$

Работу можно также выразить в килоджоулях: $1000 \text{ Дж} = 1 \text{ кДж}$.

Ответ: необходимо совершить работу в $1000 \text{ Дж}$ (или $1 \text{ кДж}$).