Номер 4, страница 15 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

4. Влияет ли выбор системы координат на расстояние между телами?

4. Решение

Нет, выбор системы координат не влияет на расстояние между телами. Расстояние является физической величиной, которая объективно характеризует взаимное расположение тел в пространстве и не зависит от способа его описания.

Система координат — это лишь математический инструмент, который мы используем для того, чтобы присвоить телам числовые характеристики (координаты). При смене системы координат (например, при переносе начала отсчета или повороте осей) координаты каждого тела изменятся, но расстояние между любыми двумя телами останется прежним. Такая величина, которая не меняется при преобразованиях системы координат, называется инвариантом.

Продемонстрируем это математически на примере двух точек A и B в трехмерном пространстве.

1. В исходной декартовой системе координат K пусть точки имеют координаты $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Квадрат расстояния $d$ между ними равен:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

2. Теперь выберем новую систему координат K', которая получена из K' путем параллельного переноса на вектор с компонентами $(a, b, c)$. В этой новой системе координаты точек будут:

$A(x'_1, y'_1, z'_1)$, где $x'_1 = x_1 - a, y'_1 = y_1 - b, z'_1 = z_1 - c$

$B(x'_2, y'_2, z'_2)$, где $x'_2 = x_2 - a, y'_2 = y_2 - b, z'_2 = z_2 - c$

3. Вычислим квадрат расстояния $d'$ в новой системе координат K':

$(d')^2 = (x'_2 - x'_1)^2 + (y'_2 - y'_1)^2 + (z'_2 - z'_1)^2$

Подставим выражения для новых координат через старые:

$(d')^2 = ((x_2 - a) - (x_1 - a))^2 + ((y_2 - b) - (y_1 - b))^2 + ((z_2 - c) - (z_1 - c))^2$

Упростим выражения в скобках:

$(d')^2 = (x_2 - a - x_1 + a)^2 + (y_2 - b - y_1 + b)^2 + (z_2 - c - z_1 + c)^2$

$(d')^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Сравнивая результаты, мы видим, что $(d')^2 = d^2$, следовательно, и $d' = d$. Расстояние между точками не изменилось. Аналогичное доказательство можно провести и для вращения системы координат.

Ответ: Нет, выбор системы координат не влияет на расстояние между телами, так как расстояние является инвариантной физической величиной.