Номер 4, страница 16 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

4. Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? Какова длина эскалатора, если скорость эскалатора 0,9 м/с? Сколько времени спускает пассажиров эскалатор на станции «Жибек Жолы» (рис. 8), если его длина составляет 104 м?

Рис. 8.Станция «Жибек Жолы» Алматинского метрополитена

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин}$ (время спуска идущего человека)

$t_2 = 45 \text{ с}$ (время спуска человека, идущего вдвое быстрее)

$v_э = 0.9 \text{ м/с}$ (скорость эскалатора)

$L_{ЖЖ} = 104 \text{ м}$ (длина эскалатора на станции «Жибек Жолы»)

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 1 \cdot 60 = 60 \text{ с}$

Найти:

$t_{ст}$ — время спуска стоящего человека?

$L$ — длина первого эскалатора?

$t_{ЖЖ}$ — время спуска на станции «Жибек Жолы»?

Решение:

Для решения задачи сначала найдем скорость человека относительно эскалатора ($v_ч$). Обозначим длину первого эскалатора как $L$. Когда человек идет вниз по движущемуся эскалатору, его скорость относительно земли является суммой его собственной скорости и скорости эскалатора. Длина эскалатора может быть выражена через скорость и время: $L = v \cdot t$.

Составим систему уравнений для двух описанных случаев:

1. Человек идет со скоростью $v_ч$. Его общая скорость $v_{общ1} = v_ч + v_э$. Время спуска $t_1 = 60 \text{ с}$.

$L = (v_ч + v_э) \cdot t_1 = (v_ч + 0.9) \cdot 60$

2. Человек идет вдвое быстрее, со скоростью $2v_ч$. Его общая скорость $v_{общ2} = 2v_ч + v_э$. Время спуска $t_2 = 45 \text{ с}$.

$L = (2v_ч + v_э) \cdot t_2 = (2v_ч + 0.9) \cdot 45$

Поскольку длина эскалатора $L$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части уравнений:

$(v_ч + 0.9) \cdot 60 = (2v_ч + 0.9) \cdot 45$

Раскроем скобки:

$60v_ч + 54 = 90v_ч + 40.5$

Сгруппируем слагаемые с $v_ч$ и числовые значения:

$54 - 40.5 = 90v_ч - 60v_ч$

$13.5 = 30v_ч$

Отсюда находим скорость человека:

$v_ч = \frac{13.5}{30} = 0.45 \text{ м/с}$

Теперь мы можем ответить на поставленные в задаче вопросы.

Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Чтобы найти время спуска стоящего человека ($t_{ст}$), нужно знать длину эскалатора $L$. Найдем ее, подставив значение $v_ч = 0.45 \text{ м/с}$ в первое уравнение:

$L = (0.45 + 0.9) \cdot 60 = 1.35 \cdot 60 = 81 \text{ м}$

Когда человек стоит на эскалаторе, его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$. Время спуска $t_{ст}$ равно:

$t_{ст} = \frac{L}{v_э} = \frac{81 \text{ м}}{0.9 \text{ м/с}} = 90 \text{ с}$

Ответ: 90 с (или 1,5 мин).

Какова длина эскалатора, если скорость эскалатора 0,9 м/с?

Длина эскалатора была вычислена в предыдущем пункте при нахождении времени спуска стоящего человека.

$L = (v_ч + v_э) \cdot t_1 = (0.45 \text{ м/с} + 0.9 \text{ м/с}) \cdot 60 \text{ с} = 1.35 \text{ м/с} \cdot 60 \text{ с} = 81 \text{ м}$

Ответ: 81 м.

Сколько времени спускает пассажиров эскалатор на станции «Жибек Жолы», если его длина составляет 104 м?

Этот вопрос касается другого эскалатора, но предполагается, что его скорость такая же, как у первого, то есть $v_э = 0.9 \text{ м/с}$. Пассажиры, которых "спускает эскалатор", стоят на нем. Время спуска ($t_{ЖЖ}$) находим по формуле:

$t_{ЖЖ} = \frac{L_{ЖЖ}}{v_э} = \frac{104 \text{ м}}{0.9 \text{ м/с}} \approx 115.55... \text{ с}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: примерно 115,6 с (или примерно 1 мин 56 с).