Номер 45, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 45, страница 170.

Условие.

18.45. Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до плоскости её боковой грани равно $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания, который является центром вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника $ABC$. Тогда $SO$ — высота пирамиды.

Проведем апофему $SM$ к ребру основания $BC$. Так как пирамида правильная, $M$ является серединой $BC$. $OM$ — проекция апофемы $SM$ на плоскость основания, и $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Поскольку $OM$ лежит на медиане (и высоте) $AM$ треугольника $ABC$, то $OM \perp BC$.

Двугранный угол при ребре основания $BC$ — это угол между плоскостью боковой грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Так как $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$, линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$. По условию задачи, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Расстояние от центра основания $O$ до плоскости боковой грани $(SBC)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим его $OH$, где $H$ — точка на плоскости $(SBC)$. Так как плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$ (поскольку $BC \perp (SOM)$), то перпендикуляр $OH$ лежит в плоскости $(SOM)$. Следовательно, $H$ лежит на апофеме $SM$, и $OH \perp SM$. По условию, $OH = d$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHM$, который является частью $\triangle SOM$ (угол $\angle OHM = 90^\circ$). В этом треугольнике мы знаем катет $OH=d$ и угол $\angle OMH = \alpha$. Мы можем найти гипотенузу $OM$:$\sin(\alpha) = \frac{OH}{OM} \implies OM = \frac{d}{\sin(\alpha)}$.

$OM$ — это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус вписанной окружности равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Таким образом, $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Приравнивая два выражения для $OM$, найдем сторону основания $a$:$\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{d}{\sin(\alpha)} \implies a = \frac{2\sqrt{3}d}{\sin(\alpha)}$.

Для нахождения площади боковой поверхности нам также нужна апофема $SM$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$:$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} \implies SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)}$.Подставим выражение для $OM$:$SM = \frac{d/\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется как половина произведения периметра основания на апофему: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot SM$.Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot \frac{2\sqrt{3}d}{\sin(\alpha)} = \frac{6\sqrt{3}d}{\sin(\alpha)}$.Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{6\sqrt{3}d}{\sin(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{d}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}\right) = \frac{3\sqrt{3}d^2}{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}d^2}{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$.