Номер 40, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 40, страница 169.

Условие.

18.40. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 5 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a = 12$ см. Высота пирамиды $h = 5$ см.

По условию, плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Предположим, что смежные грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Тогда их общее ребро $SA$ является высотой пирамиды, то есть $SA \perp (ABCD)$ и $SA = h = 5$ см.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Найдем площадь основания и каждой из четырех боковых граней.

Площадь основания

Основание пирамиды — квадрат со стороной $a = 12$ см. Его площадь:

$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из четырех треугольников: $SAB$, $SAD$, $SBC$ и $SCD$.

1. Поскольку $SA$ — высота пирамиды (перпендикуляр к плоскости основания), то $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Следовательно, треугольники $SAB$ и $SAD$ — прямоугольные.

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

$S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

2. Для нахождения площадей граней $SBC$ и $SCD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.
Для грани $SBC$: $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ — наклонная, $AB$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp BC$. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, $SB \perp BC$. Значит, треугольник $SBC$ — прямоугольный.
Найдем длину катета $SB$ из прямоугольного треугольника $SAB$ по теореме Пифагора:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь треугольника $SBC$ равна:
$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см$^2$.

3. Аналогично для грани $SCD$: $SA$ — перпендикуляр, $SD$ — наклонная, $AD$ — ее проекция. Так как $AD \perp CD$, то и $SD \perp CD$. Значит, треугольник $SCD$ — прямоугольный.
Найдем длину катета $SD$ из прямоугольного треугольника $SAD$:
$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь треугольника $SCD$ равна:
$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см$^2$.

4. Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, сложив площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} = 30 + 30 + 78 + 78 = 216$ см$^2$.

Площадь полной поверхности

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 216 = 360$ см$^2$.

Ответ: 360 см$^2$.