Страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.32. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB=6$ см и $BC=8$ см. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — точка на плоскости основания $ABCD$.

Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью (основанием) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией бокового ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Следовательно, угол между ребром $SA$ и плоскостью основания — это угол $\angle SAO$.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это значит, что $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \angle SDO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$. Они все имеют общий катет $SO$ (высота пирамиды) и равные острые углы при основании, равные $60^\circ$. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OA = OB = OC = OD$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех вершин прямоугольника $A, B, C, D$, она является центром описанной около него окружности, то есть точкой пересечения его диагоналей.

Найдем длину диагонали прямоугольника $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Поскольку $O$ — точка пересечения диагоналей, она делит их пополам. Длина проекции бокового ребра $OA$ равна половине диагонали:

$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Катет $SO$ является высотой пирамиды $H$, катет $OA = 5$ см, а угол $\angle SAO = 60^\circ$. Выразим высоту $H$ через тангенс угла:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA}$

$H = SO = OA \cdot \tan(60^\circ)$

Подставляя известные значения, получаем:

$H = 5 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

18.33. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, такой, что $\angle ABC = 120^\circ$, $AB = BC$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и равно $8$ см. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть $DABC$ — данная пирамида. Основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$ и $\angle ABC = 120^{\circ}$. Каждое боковое ребро равно $8$ см и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$.

Поскольку все боковые ребра пирамиды ($DA$, $DB$, $DC$) имеют одинаковую длину и одинаковый угол наклона к плоскости основания, вершина пирамиды $D$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Следовательно, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, и $R = OA = OB = OC$.

Высота пирамиды $DO$ перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром, например $DA$, и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией $OA$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle DAO = 45^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$ (угол $\angle DOA = 90^{\circ}$, так как $DO$ — высота). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $DA = 8$ см и острый угол $\angle DAO = 45^{\circ}$. Катет $OA$ является радиусом $R$ описанной окружности основания. Найдем его длину:$R = OA = DA \cdot \cos(\angle DAO) = 8 \cdot \cos(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь основания — треугольника $ABC$. Сначала определим углы при его основании $AC$:$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Для вычисления площади воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. С ее помощью найдем длину стороны $AB$:$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = 2R$$AB = 2R \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB=BC$, то $BC = 4\sqrt{2}$ см.Теперь можем вычислить площадь основания по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(120^{\circ})$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см$^2$.

18.34. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $3\sqrt{10}$ см, а основание — 6 см. Высота пирамиды равна 5 см, а её боковые рёбра равны. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = AC = 3\sqrt{10}$ см и основанием $BC = 6$ см. Высота пирамиды $H = 5$ см.

По условию, все боковые ребра пирамиды равны. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника-основания. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а ее проекцию на основание как $O$. Тогда точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ равны радиусу $R$ этой окружности.

Боковое ребро (например, $SA$), высота пирамиды $SO$ и радиус описанной окружности $OA$ образуют прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, квадрат длины бокового ребра $L$ равен сумме квадратов высоты $H$ и радиуса $R$: $L^2 = H^2 + R^2$. Для нахождения $L$ необходимо сначала вычислить радиус $R$.

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

1. Найдем площадь основания.
Проведем высоту $AM$ к основанию $BC$ в треугольнике $ABC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{90 - 9} = \sqrt{81} = 9$ см.
Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности.
Подставим известные значения в формулу для радиуса:
$R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S} = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

3. Найдем боковое ребро пирамиды.
Теперь, зная высоту пирамиды $H = 5$ см и радиус описанной окружности $R = 5$ см, мы можем найти длину бокового ребра $L$ из прямоугольного треугольника $SOA$:
$L^2 = H^2 + R^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$L = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

18.35. Какого вида параллелограмм может быть основанием пирамиды, у которой двугранные углы при рёбрах основания равны?

Рассмотрим пирамиду, у которой основанием является параллелограмм и все двугранные углы при рёбрах основания равны.

Согласно свойству пирамиды, если все её двугранные углы при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в это основание. Следовательно, в параллелограмм, лежащий в основании, можно вписать окружность.

Для того чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. Таким образом, у нас есть две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$.

Применяя свойство описанного четырёхугольника, получаем: $a + a = b + b$

Упрощая это выражение, имеем: $2a = 2b$ $a = b$

Это означает, что все стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Частным случаем ромба, когда все углы прямые, является квадрат, который также является ромбом.

Таким образом, параллелограмм, который может быть основанием такой пирамиды, должен быть ромбом.

Ответ: Ромб.

18.36. Основанием пирамиды является ромб со стороной 8 см и углом $30^\circ$. Каждый двугранный угол пирамиды при рёбрах основания равен $45^\circ$.

Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 30^\circ$. Все двугранные углы при ребрах основания равны $\varphi = 45^\circ$.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр вписанной в основание окружности. Для ромба таким центром является точка пересечения его диагоналей $O$. Высота пирамиды - это отрезок $SO = H$.

Для решения задачи сначала найдем характеристики основания: его площадь ($S_{осн}$) и радиус вписанной окружности ($r$).

Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin \alpha$:

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin 30^\circ = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32 \text{ см}^2$.

Высота ромба $h_{ромба}$ связана с его площадью и стороной: $h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{32}{8} = 4$ см.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания ($S_{осн}$) и величиной двугранного угла ($\varphi$) следующей формулой:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \varphi}$

Подставим вычисленное значение площади основания и заданный угол:

$S_{бок} = \frac{32}{\cos 45^\circ} = \frac{32}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{64}{\sqrt{2}} = \frac{64\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $32\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2) высоту пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=SO$, радиусом вписанной окружности $r=OK$ (где $K$ - точка касания на стороне ромба) и апофемой $SK$. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, поэтому $\angle SKO = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$ (с прямым углом $\angle SOK$) катеты $H$ и $r$ связаны через тангенс угла $\angle SKO$:

$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = r \cdot \tan(\angle SKO) = 2 \cdot \tan 45^\circ = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

18.37. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^{\circ}$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a=5$ см, $b=12$ см и $c=13$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Квадрат третьей стороны $c^2 = 13^2 = 169$. Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник в основании является прямоугольным, где катеты равны 5 см и 12 см.

Площадь основания ($S_{осн}$) как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\alpha = 30^\circ$. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания формулой:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{30}{\cos(30^\circ)} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $20\sqrt{3}$ см².

2) высоту пирамиды.

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Высота пирамиды ($H$), радиус вписанной в основание окружности ($r$) и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а заданный двугранный угол $\alpha = 30^\circ$ является углом между апофемой и радиусом $r$. Таким образом, $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Для нахождения высоты $H$ сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности. Радиус можно найти по формуле $r = \frac{S_{осн}}{p}$, где $p$ — полупериметр основания.

Периметр основания $P = 5 + 12 + 13 = 30$ см.
Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{30}{15} = 2$ см.

Наконец, найдем высоту пирамиды:
$H = r \cdot \tan(\alpha) = 2 \cdot \tan(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

18.38. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 16 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $AD = 16$ см, $BC = 4$ см. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $SO$ — её высота.

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны $60^\circ$, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (точку $O$). Это означает, что в трапецию $ABCD$ можно вписать окружность.

Для описанного четырёхугольника (в данном случае трапеции) суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим боковую сторону $AB = CD = c$. Тогда: $AD + BC = AB + CD$ $16 + 4 = c + c$ $20 = 2c$ $c = 10$ см.

Найдём высоту трапеции $h_{тр}$. Проведём высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, $AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ см. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора: $h_{тр} = BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны $\alpha$, можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\alpha}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Сначала найдём площадь основания (трапеции $ABCD$): $S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h_{тр} = \frac{16 + 4}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, зная, что $\alpha = 60^\circ$: $S_{бок} = \frac{80}{\cos 60^\circ} = \frac{80}{1/2} = 160$ см².

Ответ: 160 см².

2) высоту пирамиды.

Высота пирамиды $SO$, радиус вписанной в основание окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между радиусом и апофемой равен двугранному углу при ребре основания, то есть $60^\circ$.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине её высоты: $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H = SO$ и радиусом вписанной окружности $r$, катет $H$ противолежит углу $60^\circ$. Следовательно: $\tan 60^\circ = \frac{H}{r}$ $H = r \cdot \tan 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

18.39. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания, плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания, образует угол 45° с плоскостью основания. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AD=BC=4$ см и $AB=CD=12$ см.

По условию, плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $SAB$ и $SAD$, которые пересекаются по ребру $SA$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, и $SA$ является высотой пирамиды $H$.

Плоскость ещё одной грани, проходящей через большую сторону основания ($CD$), образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Это означает, что двугранный угол между плоскостью грани $SCD$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $45^\circ$.

Линейный угол этого двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к их общей линии пересечения $CD$, проведенными в этих плоскостях из одной точки.В плоскости основания $(ABCD)$ проведем перпендикуляр к $CD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp CD$.В плоскости грани $(SCD)$ проведем перпендикуляр к $CD$. Так как $SA \perp (ABCD)$ (высота), то $SA \perp CD$. Также мы знаем, что $AD \perp CD$. Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SA$ и $AD$) в плоскости $(SAD)$, она перпендикулярна всей плоскости $(SAD)$. Отсюда следует, что $CD \perp SD$.

Следовательно, угол $\angle SDA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$. По условию, $\angle SDA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAD$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp AD$. Значит, $\triangle SAD$ — прямоугольный. В этом треугольнике мы знаем катет $AD=4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SDA = 45^\circ$. Это означает, что $\triangle SAD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $SA = AD$.

Таким образом, высота пирамиды $H = SA = AD = 4$ см.

Ответ: $4$ см.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SBC}$.

Вычислим площадь каждой грани:

1. Грань SAD. Мы уже установили, что $\triangle SAD$ — прямоугольный и равнобедренный с катетами $SA=4$ см и $AD=4$ см. Его площадь:
$S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².

2. Грань SAB. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp AB$. Значит, $\triangle SAB$ — прямоугольный с катетами $SA=4$ см и $AB=12$ см. Его площадь:
$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$ см².

3. Грань SCD. Мы доказали, что $SD \perp CD$, значит $\triangle SCD$ — прямоугольный с катетами $CD=12$ см и $SD$. Найдем гипотенузу $SD$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAD$:
$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Площадь $\triangle SCD$:
$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

4. Грань SBC. По теореме о трех перпендикулярах: $SA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, $SB$ — наклонная, $AB$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$. Следовательно, наклонная $SB$ также перпендикулярна $BC$, то есть $SB \perp BC$. Значит, $\triangle SBC$ — прямоугольный с катетами $BC=4$ см и $SB$. Найдем гипотенузу $SB$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16+144} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.
Площадь $\triangle SBC$:
$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$ см².

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, сложив площади всех граней:
$S_{бок} = S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SCD} + S_{\triangle SBC} = 8 + 24 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10} = 32 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10}$ см².
Можно вынести общий множитель 8 за скобки: $S_{бок} = 8(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{10})$ см².

Ответ: $(32 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{10})$ см².

18.40. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 12 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 5 см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a = 12$ см. Высота пирамиды $h = 5$ см.

По условию, плоскости двух боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Предположим, что смежные грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Тогда их общее ребро $SA$ является высотой пирамиды, то есть $SA \perp (ABCD)$ и $SA = h = 5$ см.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Найдем площадь основания и каждой из четырех боковых граней.

Площадь основания

Основание пирамиды — квадрат со стороной $a = 12$ см. Его площадь:

$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из четырех треугольников: $SAB$, $SAD$, $SBC$ и $SCD$.

1. Поскольку $SA$ — высота пирамиды (перпендикуляр к плоскости основания), то $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Следовательно, треугольники $SAB$ и $SAD$ — прямоугольные.

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

$S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

2. Для нахождения площадей граней $SBC$ и $SCD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.
Для грани $SBC$: $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ — наклонная, $AB$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp BC$. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, $SB \perp BC$. Значит, треугольник $SBC$ — прямоугольный.
Найдем длину катета $SB$ из прямоугольного треугольника $SAB$ по теореме Пифагора:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь треугольника $SBC$ равна:
$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см$^2$.

3. Аналогично для грани $SCD$: $SA$ — перпендикуляр, $SD$ — наклонная, $AD$ — ее проекция. Так как $AD \perp CD$, то и $SD \perp CD$. Значит, треугольник $SCD$ — прямоугольный.
Найдем длину катета $SD$ из прямоугольного треугольника $SAD$:
$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь треугольника $SCD$ равна:
$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см$^2$.

4. Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, сложив площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD} = 30 + 30 + 78 + 78 = 216$ см$^2$.

Площадь полной поверхности

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 216 = 360$ см$^2$.

Ответ: 360 см$^2$.

18.41. Плоскости боковых граней $ABM$ и $CBM$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если $AB = BC = 17 \text{ см}$, $AC = 16 \text{ см}$, $MB = 20 \text{ см}$.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

По условию, плоскости боковых граней $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Плоскости $(ABM)$ и $(CBM)$ пересекаются по прямой $MB$. Следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.

Это означает, что $MB$ является высотой пирамиды, а боковые грани $ABM$ и $CBM$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $B$.

1. Найдём площадь основания $S_{осн}$

Основанием является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 17$ см и $AC = 16$ см. Проведем в нем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

Ответ: Площадь основания равна 120 см$^2$.

2. Найдём площади боковых граней $S_{ABM}$, $S_{CBM}$ и $S_{ACM}$

Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Треугольники $ABM$ и $CBM$ - прямоугольные.

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170$ см$^2$.

$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170$ см$^2$.

Для нахождения площади грани $ACM$ найдем ее высоту (апофему) $MH$. Так как $MB \perp (ABC)$ и $BH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость основания, то по теореме о трех перпендикулярах $MH \perp AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$ (угол $MBH = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MH = \sqrt{MB^2 + BH^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ACM$:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 = 8 \cdot 25 = 200$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{ABM} + S_{CBM} + S_{ACM} = 170 + 170 + 200 = 540$ см$^2$.

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 540 см$^2$.

3. Найдём площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 120 + 540 = 660$ см$^2$.

Ответ: 660 см$^2$.