Страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.21. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с одной из боковых граней – угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$, $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Площадь боковой поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2(a+b)c$.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$. Квадрат диагонали связан с его измерениями соотношением: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания равен $\alpha$. Этот угол образуется между самой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Высота $c$ является катетом, противолежащим этому углу, в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является диагональ $d$. Следовательно, мы можем выразить высоту $c$:

$c = d \sin(\alpha)$

Угол между диагональю $d$ и одной из боковых граней равен $\beta$. Пусть эта боковая грань имеет размеры $b \times c$. Ребро $a$ перпендикулярно плоскости этой грани. Угол $\beta$ образуется между диагональю $d$ и ее проекцией на эту боковую грань. Ребро $a$ является катетом, противолежащим этому углу, в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является диагональ $d$. Отсюда мы можем выразить сторону $a$:

$a = d \sin(\beta)$

Теперь, зная $a$ и $c$, мы можем найти сторону $b$ из соотношения для квадрата диагонали:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим известные выражения для $a$ и $c$:

$d^2 = (d \sin(\beta))^2 + b^2 + (d \sin(\alpha))^2$

$d^2 = d^2 \sin^2(\beta) + b^2 + d^2 \sin^2(\alpha)$

Выразим $b^2$:

$b^2 = d^2 - d^2 \sin^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta) = d^2 (1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$, получаем:

$b^2 = d^2 (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$

Отсюда находим $b$ (поскольку $b$ — длина ребра, $b > 0$):

$b = d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Теперь у нас есть все три измерения параллелепипеда, выраженные через $d, \alpha, \beta$. Подставим их в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(d \sin(\beta) + d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})(d \sin(\alpha))$

Упростим выражение, вынеся $d$ за скобки:

$S_{бок} = 2d (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}) \cdot d \sin(\alpha)$

$S_{бок} = 2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

Ответ: $S_{бок} = 2d^2 \sin(\alpha) (\sin(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)})$

17.22. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с данной стороной основания – угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$. Пусть измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $h$, где $a$ и $b$ - стороны основания, а $h$ - высота. По условию, одна из сторон основания равна $a$, пусть это будет $AB=a$. Тогда $BC=b$ и $AA_1=h$.

Диагональ параллелепипеда, обозначим ее как $D$, пусть это будет $AC_1$. Угол, который диагональ $AC_1$ образует с плоскостью основания $ABCD$, равен углу между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией $AC_1$ на плоскость $ABCD$ является диагональ основания $AC$. Следовательно, $\angle C_1AC = \alpha$.

Угол, который диагональ $AC_1$ образует с данной стороной основания $AB$, равен $\angle C_1AB = \beta$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания. В нашем случае $P_{осн} = 2(a+b)$, поэтому $S_{бок} = 2(a+b)h$. Для решения задачи необходимо выразить $b$ и $h$ через известные величины $a$, $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике:

• $h = CC_1 = AC_1 \cdot \sin(\alpha) = D \sin(\alpha)$
• $AC = AC_1 \cdot \cos(\alpha) = D \cos(\alpha)$

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Применим к нему теорему косинусов для стороны $BC_1$ и угла $\beta$:

$BC_1^2 = AB^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AC_1 \cdot \cos(\beta)$

$BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$, поэтому из прямоугольного треугольника $\triangle BCC_1$ имеем $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = b^2 + h^2$. Подставим известные величины:

$b^2 + h^2 = a^2 + D^2 - 2aD \cos(\beta)$

Для прямоугольного параллелепипеда квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: $D^2 = a^2 + b^2 + h^2$. Отсюда $b^2 + h^2 = D^2 - a^2$. Подставим это выражение в уравнение теоремы косинусов:

$D^2 - a^2 = a^2 + D^2 - 2aD \cos(\beta)$

$-a^2 = a^2 - 2aD \cos(\beta)$

$2aD \cos(\beta) = 2a^2$

Отсюда находим длину диагонали параллелепипеда $D$:

$D = \frac{a}{\cos(\beta)}$

Теперь мы можем найти высоту $h$ и вторую сторону основания $b$.

Высота $h$:

$h = D \sin(\alpha) = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Для нахождения $b$ воспользуемся тем, что $AC$ - диагональ прямоугольного основания $ABCD$, и по теореме Пифагора $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$. Мы уже выразили $AC$ через $D$ и $\alpha$:

$AC = D \cos(\alpha) = \frac{a \cos(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Тогда:

$b^2 = AC^2 - a^2 = \left(\frac{a \cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\right)^2 - a^2 = \frac{a^2 \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\beta)} - a^2 = a^2 \frac{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}{\cos^2(\beta)}$

$b = \frac{a}{\cos(\beta)} \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}$

Теперь, зная $a, b, h$, можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)h = 2 \left( a + \frac{a}{\cos(\beta)} \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)} \right) \cdot \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Вынося $a$ за скобки и преобразуя выражение, получаем:

$S_{бок} = 2a \left( \frac{\cos(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}}{\cos(\beta)} \right) \cdot \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\beta)}$

$S_{бок} = \frac{2a^2 \sin(\alpha) \left(\cos(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}\right)}{\cos^2(\beta)}$

Ответ: $\frac{2a^2 \sin(\alpha) \left(\cos(\beta) + \sqrt{\cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta)}\right)}{\cos^2(\beta)}$

17.23. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, а площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$. Пусть высота параллелепипеда равна $h$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется как произведение периметра основания на высоту. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$.

Следовательно, искомая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$.

Диагональные сечения данного параллелепипеда являются прямоугольниками. Их сторонами являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и боковое ребро (равное высоте $h$).

Площади этих диагональных сечений по условию равны $S_1$ и $S_2$:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих соотношений мы можем выразить длины диагоналей ромба:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Основное свойство ромба связывает его сторону и диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$, полученные ранее:
$a^2 = \left(\frac{S_1}{2h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{2h}\right)^2$
$a^2 = \frac{S_1^2}{4h^2} + \frac{S_2^2}{4h^2}$
$a^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{4h^2}$

Умножим обе части уравнения на $4h^2$:
$4a^2h^2 = S_1^2 + S_2^2$

Заметим, что левая часть уравнения является квадратом выражения $2ah$:
$(2ah)^2 = S_1^2 + S_2^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $a$ и $h$ — длины, их произведение положительно:
$2ah = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Теперь вернемся к формуле для площади боковой поверхности $S_{бок} = 4ah$. Мы можем представить ее как $S_{бок} = 2 \cdot (2ah)$. Подставив найденное выражение, получим:
$S_{бок} = 2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Ответ: $2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

17.24. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $S$. Площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть $h$ — искомое боковое ребро прямого параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба, лежащего в основании.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Это означает, что диагональные сечения являются прямоугольниками. Сторонами этих прямоугольников являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и боковое ребро $h$.

Площади диагональных сечений $S_1$ и $S_2$ равны произведениям их сторон:

$S_1 = d_1 \cdot h$

$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих двух уравнений выразим длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ через площади сечений и боковое ребро:

$d_1 = \frac{S_1}{h}$

$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Теперь подставим полученные выражения для $d_1$ и $d_2$ в формулу площади ромба:

$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{S_1}{h}\right) \cdot \left(\frac{S_2}{h}\right)$

Упростим это выражение:

$S = \frac{S_1 S_2}{2h^2}$

Осталось выразить из этого уравнения искомое боковое ребро $h$.

$2Sh^2 = S_1 S_2$

$h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S}$

$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

17.25. Через диагональ $BD$ основания $ABCD$ и вершину $C_1$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая угол $30^{\circ}$ с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если $BC = 8$ см, $CD = 4$ см, $\angle BCD = 60^{\circ}$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем периметр основания и его элементы.
Основанием является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $BC = 8$ см и $CD = 4$ см. Периметр основания: $P_{осн} = 2 \cdot (BC + CD) = 2 \cdot (8 + 4) = 24$ см.

Рассмотрим треугольник $BCD$ в основании. Используя теорему косинусов, найдем длину диагонали $BD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 16 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$
$BD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.
Угол между плоскостью сечения $(BDC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол, ребром которого является прямая $BD$. Величина этого угла по условию равна $30^\circ$.
Для построения линейного угла этого двугранного угла проведем в плоскости основания высоту $CH$ к стороне $BD$ в треугольнике $BCD$. Таким образом, $CH \perp BD$.
Поскольку параллелепипед прямой, его боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания ($CC_1 \perp (ABC)$). Тогда $CH$ является проекцией наклонной $C_1H$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция $CH$ перпендикулярна прямой $BD$, то и наклонная $C_1H$ перпендикулярна этой прямой, т.е. $C_1H \perp BD$.
Следовательно, угол $\angle C_1HC$ является линейным углом двугранного угла, и $\angle C_1HC = 30^\circ$.

Для нахождения высоты параллелепипеда $h = CC_1$ сначала найдем длину $CH$. Вычислим площадь треугольника $BCD$ двумя способами.
Через две стороны и угол между ними: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.
Через основание $BD$ и высоту $CH$: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$.
Приравнивая выражения для площади, получаем: $8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot CH$
$8\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot CH$
$CH = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC_1H$ (угол $\angle CCH_1 = 90^\circ$). Высота параллелепипеда $h = CC_1$ является катетом в этом треугольнике. $\text{tg}(\angle C_1HC) = \frac{CC_1}{CH}$
$h = CC_1 = CH \cdot \text{tg}(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности.
Подставим найденные значения периметра основания и высоты в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см$^2$.

17.26. Основание $ABCD$ параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является квадратом. Вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$. Найдите высоту параллелепипеда, если сторона основания равна 8 см, а боковое ребро параллелепипеда – 6 см.

Пусть $h$ — высота параллелепипеда. По определению, высота — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

По условию задачи, основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a = 8$ см. Вершина $A_1$ равноудалена от всех вершин основания $ABCD$, то есть $A_1A = A_1B = A_1C = A_1D$.

Это означает, что проекция точки $A_1$ на плоскость основания $ABCD$ является центром окружности, описанной около квадрата $ABCD$. Центром такой окружности является точка пересечения диагоналей квадрата. Обозначим эту точку как $O$.

Таким образом, отрезок $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания $ABCD$, и его длина является высотой параллелепипеда, то есть $h = A_1O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, где $A_1A$ — гипотенуза (боковое ребро), $AO$ и $A_1O$ — катеты. По теореме Пифагора:$A_1A^2 = AO^2 + A_1O^2$

Из этой формулы мы можем выразить высоту:$h^2 = A_1O^2 = A_1A^2 - AO^2$

Нам известна длина бокового ребра $A_1A = 6$ см. Найдем длину отрезка $AO$, который является половиной диагонали квадрата $ABCD$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$AC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Точка $O$ — середина диагонали $AC$, следовательно:$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для высоты:$h^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$

$h = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

17.27. Основание $ABCD$ наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а плоскости граней $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани $AA_1D_1D$, если каждое ребро параллелепипеда равно 8 см.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - параллелепипед, его грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом. По условию, все ребра параллелепипеда равны 8 см. Следовательно, стороны этого параллелограмма $AD$ и $AA_1$ равны 8 см: $AD = 8 \text{ см}$, $AA_1 = 8 \text{ см}$. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.

Площадь грани $AA_1D_1D$ можно найти по формуле площади параллелограмма: $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1)$, где $\angle DAA_1$ - это угол между ребрами $AD$ и $AA_1$.

Для нахождения этого угла воспользуемся данными из условия. Основание $ABCD$ является квадратом, поэтому его смежные стороны перпендикулярны, в частности ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$: $AD \perp AB$.

Также по условию, плоскость грани $(AA_1B_1B)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линия пересечения этих двух плоскостей — это прямая $AB$.

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей: если прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. В нашем случае прямая $AD$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$ и перпендикулярна линии пересечения $AB$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости грани $(AA_1B_1B)$.

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$, следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$. Это означает, что угол между ребрами $AD$ и $AA_1$ равен $90^\circ$: $\angle DAA_1 = 90^\circ$.

Таким образом, грань $AA_1D_1D$ — это ромб, у которого угол между смежными сторонами прямой. Следовательно, эта грань является квадратом со стороной 8 см. Площадь этого квадрата равна: $S_{AA_1D_1D} = AD^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

17.28. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, $AB = 2\sqrt{2}$ см, $\angle BAC = 30^{\circ}$, отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Найдите отрезок $AD$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, то он является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle CBA = \angle BAC = 30^{\circ}$.

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому угол при вершине $C$ равен:$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle CBA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$.

Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, следовательно, он делит этот угол на два равных угла:$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем сторону $AB = 2\sqrt{2}$ см и два угла: $\angle BAD = 15^{\circ}$ и $\angle ABD = 30^{\circ}$. Найдем третий угол этого треугольника:$\angle ADB = 180^{\circ} - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Для нахождения длины отрезка $AD$ применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{AD}{\sin(30^{\circ})} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(135^{\circ})}$

Выразим $AD$:$AD = \frac{AB \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(135^{\circ})}$

Зная, что $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выполним вычисления:$AD = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

17.29. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а боковая сторона – 30 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 20$ см, а боковые стороны $AB = BC = 30$ см. Проведем биссектрису $AD$ из вершины угла при основании $A$ к боковой стороне $BC$. Необходимо найти длину этой биссектрисы $AD$.

Шаг 1: Нахождение длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается как: $$ \frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB} $$ Подставим известные значения длин сторон: $$ \frac{CD}{DB} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} $$ Из этой пропорции можно выразить $CD$ через $DB$: $CD = \frac{2}{3} DB$.

Точка $D$ делит сторону $BC$ на два отрезка, сумма длин которых равна длине всей стороны: $CD + DB = BC = 30$ см. Подставим выражение для $CD$ в это равенство: $$ \frac{2}{3} DB + DB = 30 $$ $$ \frac{5}{3} DB = 30 $$ $$ DB = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18 \text{ см} $$ Зная $DB$, находим $CD$: $$ CD = 30 - 18 = 12 \text{ см} $$

Шаг 2: Вычисление длины биссектрисы.

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся формулой, связывающей длину биссектрисы со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону: $$ AD^2 = AB \cdot AC - DB \cdot CD $$ Подставим известные и вычисленные значения: $$ AD^2 = 30 \cdot 20 - 18 \cdot 12 $$ $$ AD^2 = 600 - 216 $$ $$ AD^2 = 384 $$ Чтобы найти длину $AD$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Для упрощения разложим 384 на множители: $384 = 64 \cdot 6$. $$ AD = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6} \text{ см} $$

Для проверки можно использовать теорему косинусов.
Сначала найдем косинус угла $\angle C$ в треугольнике $ABC$ по теореме косинусов: $$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C) $$ $$ 30^2 = 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \cos(\angle C) $$ $$ 900 = 400 + 900 - 1200 \cos(\angle C) $$ $$ 1200 \cos(\angle C) = 400 \implies \cos(\angle C) = \frac{400}{1200} = \frac{1}{3} $$ Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $ADC$, чтобы найти сторону $AD$: $$ AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle C) $$ Подставим значения $AC=20$, $CD=12$ и $\cos(\angle C) = \frac{1}{3}$: $$ AD^2 = 20^2 + 12^2 - 2 \cdot 20 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} $$ $$ AD^2 = 400 + 144 - 160 = 544 - 160 = 384 $$ $$ AD = \sqrt{384} = 8\sqrt{6} \text{ см} $$ Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $8\sqrt{6}$ см.