Номер 29, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 29, страница 162.

Условие.

17.29. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а боковая сторона – 30 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 20$ см, а боковые стороны $AB = BC = 30$ см. Проведем биссектрису $AD$ из вершины угла при основании $A$ к боковой стороне $BC$. Необходимо найти длину этой биссектрисы $AD$.

Шаг 1: Нахождение длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается как: $$ \frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB} $$ Подставим известные значения длин сторон: $$ \frac{CD}{DB} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} $$ Из этой пропорции можно выразить $CD$ через $DB$: $CD = \frac{2}{3} DB$.

Точка $D$ делит сторону $BC$ на два отрезка, сумма длин которых равна длине всей стороны: $CD + DB = BC = 30$ см. Подставим выражение для $CD$ в это равенство: $$ \frac{2}{3} DB + DB = 30 $$ $$ \frac{5}{3} DB = 30 $$ $$ DB = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18 \text{ см} $$ Зная $DB$, находим $CD$: $$ CD = 30 - 18 = 12 \text{ см} $$

Шаг 2: Вычисление длины биссектрисы.

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся формулой, связывающей длину биссектрисы со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону: $$ AD^2 = AB \cdot AC - DB \cdot CD $$ Подставим известные и вычисленные значения: $$ AD^2 = 30 \cdot 20 - 18 \cdot 12 $$ $$ AD^2 = 600 - 216 $$ $$ AD^2 = 384 $$ Чтобы найти длину $AD$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Для упрощения разложим 384 на множители: $384 = 64 \cdot 6$. $$ AD = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6} \text{ см} $$

Для проверки можно использовать теорему косинусов.
Сначала найдем косинус угла $\angle C$ в треугольнике $ABC$ по теореме косинусов: $$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C) $$ $$ 30^2 = 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \cos(\angle C) $$ $$ 900 = 400 + 900 - 1200 \cos(\angle C) $$ $$ 1200 \cos(\angle C) = 400 \implies \cos(\angle C) = \frac{400}{1200} = \frac{1}{3} $$ Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $ADC$, чтобы найти сторону $AD$: $$ AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle C) $$ Подставим значения $AC=20$, $CD=12$ и $\cos(\angle C) = \frac{1}{3}$: $$ AD^2 = 20^2 + 12^2 - 2 \cdot 20 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} $$ $$ AD^2 = 400 + 144 - 160 = 544 - 160 = 384 $$ $$ AD = \sqrt{384} = 8\sqrt{6} \text{ см} $$ Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $8\sqrt{6}$ см.