Номер 24, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 24, страница 162.

Условие.

17.24. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $S$. Площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $h$ — искомое боковое ребро прямого параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба, лежащего в основании.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Это означает, что диагональные сечения являются прямоугольниками. Сторонами этих прямоугольников являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и боковое ребро $h$.

Площади диагональных сечений $S_1$ и $S_2$ равны произведениям их сторон:

$S_1 = d_1 \cdot h$

$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих двух уравнений выразим длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ через площади сечений и боковое ребро:

$d_1 = \frac{S_1}{h}$

$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Теперь подставим полученные выражения для $d_1$ и $d_2$ в формулу площади ромба:

$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{S_1}{h}\right) \cdot \left(\frac{S_2}{h}\right)$

Упростим это выражение:

$S = \frac{S_1 S_2}{2h^2}$

Осталось выразить из этого уравнения искомое боковое ребро $h$.

$2Sh^2 = S_1 S_2$

$h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S}$

$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$