Номер 27, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 27, страница 162.

Условие.

17.27. Основание $ABCD$ наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а плоскости граней $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани $AA_1D_1D$, если каждое ребро параллелепипеда равно 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - параллелепипед, его грань $AA_1D_1D$ является параллелограммом. По условию, все ребра параллелепипеда равны 8 см. Следовательно, стороны этого параллелограмма $AD$ и $AA_1$ равны 8 см: $AD = 8 \text{ см}$, $AA_1 = 8 \text{ см}$. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.

Площадь грани $AA_1D_1D$ можно найти по формуле площади параллелограмма: $S_{AA_1D_1D} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1)$, где $\angle DAA_1$ - это угол между ребрами $AD$ и $AA_1$.

Для нахождения этого угла воспользуемся данными из условия. Основание $ABCD$ является квадратом, поэтому его смежные стороны перпендикулярны, в частности ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$: $AD \perp AB$.

Также по условию, плоскость грани $(AA_1B_1B)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линия пересечения этих двух плоскостей — это прямая $AB$.

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей: если прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. В нашем случае прямая $AD$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$ и перпендикулярна линии пересечения $AB$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости грани $(AA_1B_1B)$.

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$, следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$. Это означает, что угол между ребрами $AD$ и $AA_1$ равен $90^\circ$: $\angle DAA_1 = 90^\circ$.

Таким образом, грань $AA_1D_1D$ — это ромб, у которого угол между смежными сторонами прямой. Следовательно, эта грань является квадратом со стороной 8 см. Площадь этого квадрата равна: $S_{AA_1D_1D} = AD^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.