Номер 20, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 20, страница 161.

Условие.

17.20. Основанием прямого параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является параллелограмм $ABCD$, $AD = 8$ см, $\angle BAD = 30^\circ$. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 CD$ равен $45^\circ$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный прямой параллелепипед. Его основание $ABCD$ — параллелограмм, а боковые рёбра перпендикулярны основанию ($AA_1 \perp$ пл. $ABC$). Искомое боковое ребро равно высоте параллелепипеда, обозначим его $h = AA_1$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется как угол между двумя перпендикулярами, проведёнными к линии пересечения плоскостей в одной точке, причём каждый перпендикуляр лежит в своей плоскости.

1. Плоскость основания $ABC$ и плоскость $A_1CD$ пересекаются по прямой $CD$.

2. Для построения линейного угла двугранного угла проведём в плоскости основания $ABCD$ перпендикуляр $AH$ к прямой $CD$.

3. Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $AA_1 \perp AH$. Таким образом, треугольник $\triangle A_1AH$ является прямоугольным.

4. Рассмотрим наклонную $A_1H$ к плоскости основания и её проекцию $AH$. Поскольку проекция $AH$ перпендикулярна прямой $CD$ (по построению), то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $A_1H$ также перпендикулярна прямой $CD$.

5. Мы получили, что $AH \perp CD$ и $A_1H \perp CD$. Следовательно, угол $\angle A_1HA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $A_1CD$. По условию задачи, $\angle A_1HA = 45^\circ$.

6. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AH$ (с прямым углом $\angle A_1AH$):
$\tan(\angle A_1HA) = \frac{AA_1}{AH}$
Поскольку $\angle A_1HA = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$, то $AA_1 = AH$. Таким образом, длина бокового ребра равна длине высоты $AH$ в основании.

7. Найдём длину $AH$. $AH$ — это высота параллелограмма $ABCD$, проведённая из вершины $A$ к стороне $CD$. В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
$\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ADH$. Так как угол $\angle ADC = 150^\circ$ является тупым, высота $AH$ падает на продолжение стороны $CD$ за точку $D$. Угол $\angle ADH$ смежен с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle ADH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ADH$ ($\angle AHD = 90^\circ$):
- гипотенуза $AD = 8$ см.
- $\angle ADH = 30^\circ$.
Катет $AH$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$AH = AD \cdot \sin(\angle ADH) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

8. Так как $AA_1 = AH$, то длина бокового ребра равна 4 см.

Ответ: 4 см.