Страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.8. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если они относятся как $1 : 2 : 2$, а диагональ параллелепипеда равна 6 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$.

По условию, их отношение равно $1 : 2 : 2$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить следующим образом:
$a = 1 \cdot x = x$ см,
$b = 2 \cdot x = 2x$ см,
$c = 2 \cdot x = 2x$ см.

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Известно, что диагональ $d = 6$ см. Подставим известные значения в формулу:
$6^2 = (x)^2 + (2x)^2 + (2x)^2$

Решим полученное уравнение:
$36 = x^2 + 4x^2 + 4x^2$
$36 = 9x^2$
$x^2 = \frac{36}{9}$
$x^2 = 4$
Так как $x$ представляет собой длину, мы берем только положительное значение корня:
$x = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь найдем измерения параллелепипеда, подставив значение $x$:
$a = x = 2$ см.
$b = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.
$c = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 4 см и 4 см.

17.9. Ребро куба равно $a$. Чему равна диагональ куба?

17.9.

Для того чтобы найти диагональ куба, можно дважды применить теорему Пифагора или воспользоваться общей формулой для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Способ 1: Двукратное применение теоремы Пифагора

1. Сначала найдем диагональ грани куба. Грань куба представляет собой квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата, обозначим ее $d_{грани}$, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными ребру куба $a$.

По теореме Пифагора:

$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Следовательно, $d_{грани} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ грани ($d_{грани}$) и ребро куба ($a$), перпендикулярное этой грани. Гипотенузой этого треугольника будет диагональ самого куба, обозначим ее $d_{куба}$.

Снова по теореме Пифагора:

$d_{куба}^2 = (d_{грани})^2 + a^2$

Подставим найденное значение $d_{грани}^2$:

$d_{куба}^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень, находим длину диагонали куба:

$d_{куба} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Способ 2: Использование общей формулы

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Для куба все три измерения равны $a$.

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда, диагональ куба $d$ равна:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

17.10. Площадь поверхности куба равна $216 \, \text{см}^2$. Найдите площадь его диагонального сечения.

Пусть $a$ — длина ребра куба.

Площадь полной поверхности куба ($S_{пов}$) вычисляется как сумма площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$, поэтому ее площадь равна $a^2$. Таким образом, формула для площади полной поверхности куба выглядит так:

$S_{пов} = 6a^2$

Согласно условию задачи, площадь поверхности куба равна 216 см². Используя эту информацию, мы можем найти длину ребра куба.

$6a^2 = 216$

$a^2 = \frac{216}{6}$

$a^2 = 36$ см²

Отсюда находим длину ребра:

$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник. Сторонами этого прямоугольника являются ребро куба $a$ и диагональ его грани $d$.

Диагональ грани куба (которая является квадратом со стороной $a$) можно найти по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь мы можем вычислить площадь диагонального сечения ($S_{сеч}$), перемножив длины его сторон:

$S_{сеч} = a \cdot d = a \cdot (a\sqrt{2}) = a^2\sqrt{2}$

Мы уже выяснили, что $a^2 = 36$ см². Подставим это значение в формулу площади сечения:

$S_{сеч} = 36\sqrt{2}$ см²

Ответ: $36\sqrt{2}$ см².

17.11. Из четырёх равных кубов, ребро которых равно 1 см, составили прямоугольный параллелепипед. Чему равна площадь полной поверхности этого параллелепипеда?

По условию задачи, имеется четыре равных куба, ребро каждого из которых равно 1 см. При составлении из них прямоугольного параллелепипеда возможны два варианта расположения кубов, которые приводят к различным площадям полной поверхности.

Вариант 1: Все четыре куба выстроены в один ряд

В этом случае получается прямоугольный параллелепипед со следующими измерениями:
Длина ($l$) = $4 \times 1 = 4$ см,
Ширина ($w$) = $1$ см,
Высота ($h$) = $1$ см.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $S = 2(lw + lh + wh)$.
Подставим значения в формулу:
$S_1 = 2 \cdot (4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2 \cdot (4 + 4 + 1) = 2 \cdot 9 = 18$ см².
Ответ: 18 см².

Вариант 2: Кубы образуют основание 2×2

В этом случае получается прямоугольный параллелепипед со следующими измерениями:
Длина ($l$) = $2 \times 1 = 2$ см,
Ширина ($w$) = $2 \times 1 = 2$ см,
Высота ($h$) = $1$ см.
Снова используем формулу для площади полной поверхности: $S = 2(lw + lh + wh)$.
Подставим значения в формулу:
$S_2 = 2 \cdot (2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (4 + 2 + 2) = 2 \cdot 8 = 16$ см².
Ответ: 16 см².

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от формы составленного параллелепипеда. Площадь его полной поверхности может быть равна 18 см² или 16 см².

17.12. Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом $ \alpha $ и меньшей диагональю $ d $. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда. Основанием является ромб со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 4a$. Таким образом, задача сводится к нахождению стороны ромба $a$ и высоты параллелепипеда $h$.

1. Найдем сторону основания (ромба)

Пусть сторона ромба равна $a$. По условию, в ромбе есть острый угол $\alpha$ и меньшая диагональ $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит напротив острого угла. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба ($a$) и его меньшей диагональю ($d$). Угол между сторонами $a$ равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

Воспользуемся формулой половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$d = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда выразим сторону ромба $a$:

$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем высоту параллелепипеда

Высота прямого параллелепипеда $h$ равна его боковому ребру. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, которую мы обозначим $D$. Высота $h$, большая диагональ ромба $D$ и большая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. Из соотношений в этом треугольнике имеем:

$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$, откуда $h = D \tan(\beta)$.

Теперь найдем длину большей диагонали ромба $D$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:

$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2$

Выразим отсюда $D^2$:

$D^2 = 4a^2 - d^2$

Подставим найденное ранее выражение для $a$:

$D^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - d^2 = \frac{4d^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2$

$D^2 = d^2\left(\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1\right) = d^2\frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\cot^2(\frac{\alpha}{2})$

Следовательно, большая диагональ ромба равна:

$D = d \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:

$h = D \tan(\beta) = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$

Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:

$S_{бок} = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

Упростим выражение, используя то, что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:

$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

17.13. Основание прямого параллелепипеда – ромб со стороной 6 см и углом $60^\circ$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной $a = 6$ см и острым углом $60^\circ$.

Сначала найдем диагонали основания. В ромбе с углом $60^\circ$ меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив этого угла. Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равносторонним, так как все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, меньшая диагональ равна стороне ромба:
$d_1 = a = 6$ см.

Большая диагональ ромба $d_2$ лежит напротив тупого угла, который равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Найдем $d_2$ по теореме косинусов:
$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^\circ) = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 + 36 + 36 = 108$.
$d_2 = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

По условию, меньшая диагональ параллелепипеда $D_{меньш}$ равна большей диагонали его основания $d_2$.
$D_{меньш} = d_2 = 6\sqrt{3}$ см.

Так как параллелепипед прямой, его высота $h$ перпендикулярна основанию. Меньшая диагональ параллелепипеда, его высота и меньшая диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$D_{меньш}^2 = d_1^2 + h^2$
Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:
$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + h^2$
$108 = 36 + h^2$
$h^2 = 108 - 36 = 72$
$h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

Периметр ромба: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$ см².

Ответ: $144\sqrt{2}$ см².

17.14. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $2\sqrt{2}$ см и 4 см, а один из углов основания равен $45^\circ$. Большая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 4$ см. Основанием является параллелограмм, один из углов которого равен $45^\circ$. Следовательно, второй угол равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Нахождение диагоналей основания
Для нахождения диагоналей параллелограмма ($d_1$ и $d_2$) воспользуемся теоремой косинусов.
Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $45^\circ$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45^\circ) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 + 16 - 16 = 8$.
$d_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла $135^\circ$:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135^\circ) = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 8 + 16 + 16 = 40$.
$d_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см.
Таким образом, большая диагональ основания равна $2\sqrt{10}$ см.

Нахождение высоты параллелепипеда
Большая диагональ параллелепипеда ($D = 7$ см) соответствует большей диагонали основания ($d_2 = 2\sqrt{10}$ см). Эти диагонали и высота параллелепипеда $h$ образуют прямоугольный треугольник, так как параллелепипед прямой. По теореме Пифагора:
$D^2 = d_2^2 + h^2$
$7^2 = (2\sqrt{10})^2 + h^2$
$49 = 40 + h^2$
$h^2 = 49 - 40 = 9$
$h = 3$ см.

Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда равна произведению периметра его основания $P_{осн}$ на высоту $h$.
Периметр основания:
$P_{осн} = 2(a+b) = 2(2\sqrt{2} + 4) = 4\sqrt{2} + 8$ см.
Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4\sqrt{2} + 8) \cdot 3 = 12\sqrt{2} + 24$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{2} + 24$ см$^2$.

17.15. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $2$ см и $2\sqrt{3}$ см, а один из углов основания равен $30^{\circ}$. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через меньшую диагональ основания, равна $8$ см$^2$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит параллелограмм $ABCD$.

По условию, стороны основания равны $a = 2$ см и $b = 2\sqrt{3}$ см. Пусть $AB = 2$ см, $AD = 2\sqrt{3}$ см. Один из углов основания равен $30^\circ$. В параллелограмме диагональ, лежащая напротив острого угла, является меньшей диагональю. Пусть $\angle BAD = 30^\circ$. Тогда меньшая диагональ основания — это $BD$.

1. Найдем длину меньшей диагонали основания.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов для нахождения диагонали $d_1 = BD$:
$d_1^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$
$d_1^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$
$d_1^2 = 4 + 4 \cdot 3 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$d_1^2 = 4 + 12 - \frac{8 \cdot 3}{2}$
$d_1^2 = 16 - 12 = 4$
$d_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Диагональное сечение, проходящее через меньшую диагональ основания $BD$, является прямоугольником $BDD_1B_1$. Его площадь $S_{сеч}$ равна произведению длины диагонали основания $d_1$ на высоту параллелепипеда $h = BB_1$.
$S_{сеч} = d_1 \cdot h$
По условию $S_{сеч} = 8$ см².
$8 = 2 \cdot h$
$h = \frac{8}{2} = 4$ см.

3. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Вычислим площадь основания (параллелограмма $ABCD$):
$S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$
$S_{осн} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см².

Вычислим площадь боковой поверхности. Она равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
Периметр основания:
$P_{осн} = 2(AB + AD) = 2(2 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$ см.
Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = (4 + 4\sqrt{3}) \cdot 4 = 16 + 16\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) + (16 + 16\sqrt{3})$
$S_{полн} = 4\sqrt{3} + 16 + 16\sqrt{3} = 16 + 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16 + 20\sqrt{3}$ см².

17.16. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см и 20 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками со сторонами $a$ и $b$, $a$ и $c$, $b$ и $c$. Диагонали этих граней, обозначим их $d_1$, $d_2$ и $d_3$, находятся по теореме Пифагора.

Согласно условию задачи, диагонали граней равны 11 см, 19 см и 20 см. Мы можем составить систему уравнений, где квадраты диагоналей граней равны суммам квадратов соответствующих сторон:

$d_1^2 = a^2 + b^2 = 11^2 = 121$

$d_2^2 = a^2 + c^2 = 19^2 = 361$

$d_3^2 = b^2 + c^2 = 20^2 = 400$

Квадрат диагонали самого прямоугольного параллелепипеда, обозначим ее $D$, равен сумме квадратов трех его измерений. Формула для квадрата диагонали: $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Для нахождения $D^2$, сложим все три уравнения нашей системы:

$(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 121 + 361 + 400$

Приведем подобные члены в левой части уравнения:

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 882$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2 + c^2) = 882$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму квадратов измерений:

$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{882}{2} = 441$

Поскольку $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$, мы получаем:

$D^2 = 441$

Чтобы найти длину диагонали $D$, извлечем квадратный корень из 441:

$D = \sqrt{441} = 21$ см.

Ответ: 21 см.

17.17. Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше его измерений соответственно на 9 см, на 8 см и на 5 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

17.17.

Пусть $a, b, c$ – измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота), а $d$ – его диагональ.

Согласно условию задачи, диагональ больше его измерений соответственно на 9 см, на 8 см и на 5 см. Запишем эти соотношения в виде уравнений:

$a = d - 9$
$b = d - 8$
$c = d - 5$

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений. Формула, связывающая диагональ и измерения, выглядит так:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим выражения для $a, b$ и $c$ через $d$ в эту формулу:

$d^2 = (d - 9)^2 + (d - 8)^2 + (d - 5)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$d^2 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 9 + 9^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 5 + 5^2)$

$d^2 = (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 10d + 25)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$d^2 = (d^2 + d^2 + d^2) + (-18d - 16d - 10d) + (81 + 64 + 25)$

$d^2 = 3d^2 - 44d + 170$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3d^2 - d^2 - 44d + 170 = 0$

$2d^2 - 44d + 170 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$d^2 - 22d + 85 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 85 = 484 - 340 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{144}}{2} = \frac{22 + 12}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{144}}{2} = \frac{22 - 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь необходимо проверить, какой из корней удовлетворяет условиям задачи. Измерения параллелепипеда $a, b, c$ должны быть положительными числами.

Проверим корень $d_1 = 17$:

$a = 17 - 9 = 8$ см (> 0)
$b = 17 - 8 = 9$ см (> 0)
$c = 17 - 5 = 12$ см (> 0)

Все измерения положительны, следовательно, этот корень является решением задачи.

Проверим корень $d_2 = 5$:

$a = 5 - 9 = -4$ см (< 0)

Так как одно из измерений получается отрицательным, что невозможно с точки зрения геометрии, этот корень является посторонним и не подходит.

Таким образом, единственное возможное значение для диагонали параллелепипеда – 17 см.

Ответ: 17 см.

17.18. Докажите, что если диагонали прямого параллелепипеда равны, то данный параллелепипед является прямоугольным.

Рассмотрим прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению прямого параллелепипеда, его основания ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) являются параллелограммами, а боковые рёбра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Таким образом, для доказательства утверждения достаточно показать, что основание $ABCD$ является прямоугольником.

Рассмотрим две диагонали параллелепипеда: $AC_1$ и $BD_1$. По условию задачи, все диагонали равны, следовательно, $AC_1 = BD_1$.

Найдём квадраты длин этих диагоналей, используя теорему Пифагора.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$. Так как параллелепипед прямой, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle ACC_1$ является прямоугольным с гипотенузой $AC_1$. По теореме Пифагора:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle BDD_1$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и, следовательно, прямой $BD$. Значит, треугольник $\triangle BDD_1$ является прямоугольным с гипотенузой $BD_1$. По теореме Пифагора:
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

Приравняем квадраты длин диагоналей, так как $AC_1 = BD_1$:
$AC_1^2 = BD_1^2$
$AC^2 + CC_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

В любом параллелепипеде противолежащие рёбра равны, поэтому $CC_1 = DD_1$. Тогда из предыдущего равенства следует:
$AC^2 = BD^2$
Поскольку длины отрезков — положительные величины, то $AC = BD$.

Мы установили, что диагонали ($AC$ и $BD$) параллелограмма $ABCD$, лежащего в основании, равны между собой. Согласно свойству параллелограмма, если его диагонали равны, то он является прямоугольником.

Таким образом, основание $ABCD$ — прямоугольник. Поскольку данный параллелепипед является прямым и его основание — прямоугольник, он является прямоугольным параллелепипедом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

17.19. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$ со стороной 6 см, $\angle BAD = 45^\circ$. Через прямую $AD$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $60^\circ$.

Найдите:

1) боковое ребро параллелепипеда;

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AB_1D$.

1) боковое ребро параллелепипеда

Данный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямым, что означает, что его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, $BB_1 \perp (ABC)$.

Плоскость сечения проходит через прямую $AD$ и вершину $B_1$. Плоскость основания — это плоскость $(ABC)$. Линия пересечения этих двух плоскостей — прямая $AD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке. Построим такой линейный угол.

В плоскости основания $(ABC)$ проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$. Таким образом, по построению $BH \perp AD$.

Поскольку $BB_1 \perp (ABC)$, то $BB_1$ является перпендикуляром к плоскости, а $B_1H$ — наклонной к этой плоскости, имеющей проекцию $BH$. Так как проекция $BH$ перпендикулярна прямой $AD$ в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $B_1H$ перпендикулярна этой прямой: $B_1H \perp AD$.

Мы имеем два перпендикуляра $BH$ и $B_1H$ к общей прямой $AD$, проведенные в одной точке $H$. Следовательно, угол между ними $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию задачи, $\angle B_1HB = 60^\circ$.

Для нахождения бокового ребра $BB_1$ сначала найдем длину $BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота). В нем гипотенуза $AB = 6$ см (сторона ромба), а угол $\angle BAH = \angle BAD = 45^\circ$.$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (угол $\angle B_1BH = 90^\circ$, так как $BB_1 \perp (ABC)$). В нем нам известен катет $BH = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему угол $\angle B_1HB = 60^\circ$. Боковое ребро $BB_1$ является вторым катетом.$BB_1 = BH \cdot \tan(\angle B_1HB) = 3\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

2) площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AB_1D$

Плоскость сечения проходит через прямую $AD$ и точку $B_1$. Поскольку в основании параллелепипеда лежит ромб $ABCD$, то $AD \parallel BC$. Также, в прямом параллелепипеде основания параллельны, поэтому $BC \parallel B_1C_1$. Отсюда следует, что $AD \parallel B_1C_1$.

Так как две параллельные прямые $AD$ и $B_1C_1$ задают плоскость, то точки $A, D, C_1, B_1$ лежат в одной плоскости. Следовательно, искомое сечение — это параллелограмм $AB_1C_1D$.

Площадь этого параллелограмма можно найти как произведение его основания на высоту. Примем за основание сторону $AD = 6$ см. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на основание $AD$, является отрезок $B_1H$, перпендикулярность которого к $AD$ была доказана в предыдущем пункте.

Найдем длину высоты $B_1H$ из прямоугольного треугольника $B_1BH$:$B_1H = \frac{BH}{\cos(\angle B_1HB)} = \frac{3\sqrt{2}}{\cos(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь сечения $S_{AB_1C_1D}$:$S_{AB_1C_1D} = AD \cdot B_1H = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Альтернативный способ:

Можно воспользоваться теоремой о площади ортогональной проекции фигуры. Ортогональной проекцией сечения $AB_1C_1D$ на плоскость основания $(ABC)$ является ромб $ABCD$.

Найдем площадь ромба $ABCD$:$S_{ABCD} = AB^2 \cdot \sin(\angle BAD) = 6^2 \cdot \sin(45^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь проекции ($S_{proj}$) связана с площадью самой фигуры ($S_{sec}$) и углом $\gamma$ между их плоскостями соотношением: $S_{proj} = S_{sec} \cdot \cos(\gamma)$.

Отсюда площадь сечения:$S_{sec} = \frac{S_{proj}}{\cos(\gamma)} = \frac{S_{ABCD}}{\cos(60^\circ)} = \frac{18\sqrt{2}}{1/2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.

17.20. Основанием прямого параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является параллелограмм $ABCD$, $AD = 8$ см, $\angle BAD = 30^\circ$. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1 CD$ равен $45^\circ$. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный прямой параллелепипед. Его основание $ABCD$ — параллелограмм, а боковые рёбра перпендикулярны основанию ($AA_1 \perp$ пл. $ABC$). Искомое боковое ребро равно высоте параллелепипеда, обозначим его $h = AA_1$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется как угол между двумя перпендикулярами, проведёнными к линии пересечения плоскостей в одной точке, причём каждый перпендикуляр лежит в своей плоскости.

1. Плоскость основания $ABC$ и плоскость $A_1CD$ пересекаются по прямой $CD$.

2. Для построения линейного угла двугранного угла проведём в плоскости основания $ABCD$ перпендикуляр $AH$ к прямой $CD$.

3. Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $AA_1 \perp AH$. Таким образом, треугольник $\triangle A_1AH$ является прямоугольным.

4. Рассмотрим наклонную $A_1H$ к плоскости основания и её проекцию $AH$. Поскольку проекция $AH$ перпендикулярна прямой $CD$ (по построению), то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $A_1H$ также перпендикулярна прямой $CD$.

5. Мы получили, что $AH \perp CD$ и $A_1H \perp CD$. Следовательно, угол $\angle A_1HA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $A_1CD$. По условию задачи, $\angle A_1HA = 45^\circ$.

6. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AH$ (с прямым углом $\angle A_1AH$):
$\tan(\angle A_1HA) = \frac{AA_1}{AH}$
Поскольку $\angle A_1HA = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$, то $AA_1 = AH$. Таким образом, длина бокового ребра равна длине высоты $AH$ в основании.

7. Найдём длину $AH$. $AH$ — это высота параллелограмма $ABCD$, проведённая из вершины $A$ к стороне $CD$. В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
$\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ADH$. Так как угол $\angle ADC = 150^\circ$ является тупым, высота $AH$ падает на продолжение стороны $CD$ за точку $D$. Угол $\angle ADH$ смежен с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle ADH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ADH$ ($\angle AHD = 90^\circ$):
- гипотенуза $AD = 8$ см.
- $\angle ADH = 30^\circ$.
Катет $AH$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$AH = AD \cdot \sin(\angle ADH) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

8. Так как $AA_1 = AH$, то длина бокового ребра равна 4 см.

Ответ: 4 см.