Страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.43. Каждое ребро наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равно $a$. Ребро $AA_1$ образует с каждым из рёбер $AB$ и $AC$ угол, равный $45^\circ$.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) Докажите, что $AA_1 \perp BC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие ребрам, выходящим из вершины $A$: $\vec{AA_1}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По условию задачи, все ребра призмы равны $a$. Это означает, что длины (модули) введенных векторов равны $a$: $|\vec{AA_1}| = a$, $|\vec{AB}| = a$, $|\vec{AC}| = a$.

Также по условию, ребро $AA_1$ образует с ребрами $AB$ и $AC$ угол в $45°$. Следовательно, угол между вектором $\vec{AA_1}$ и вектором $\vec{AB}$ равен $45°$, и угол между вектором $\vec{AA_1}$ и вектором $\vec{AC}$ также равен $45°$.

Чтобы доказать, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $BC$, необходимо показать, что скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ равно нулю.

Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в точке A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{AC} - \vec{AA_1} \cdot \vec{AB}$.

Вычислим каждое слагаемое, используя определение скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Подставим полученные значения в выражение для скалярного произведения:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} - \frac{a^2\sqrt{2}}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ также перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1}$.

Поскольку все ребра призмы равны $a$, каждая боковая грань является ромбом со стороной $a$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = s_1 s_2 \sin\theta$, где $s_1$ и $s_2$ — смежные стороны, а $\theta$ — угол между ними.

Найдем площадь каждой боковой грани:

1. Грань $ABB_1A_1$. Это ромб со сторонами $AB$ и $AA_1$. Угол между ними по условию $\angle A_1AB = 45°$. $S_{ABB_1A_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Грань $CAA_1C_1$. Это ромб со сторонами $AC$ и $AA_1$. Угол между ними по условию $\angle A_1AC = 45°$. $S_{CAA_1C_1} = a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Грань $BCC_1B_1$. Это ромб со сторонами $BC$ и $BB_1$. В призме боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Угол между сторонами ромба $BC$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $BC$ и $AA_1$. В пункте 1) было доказано, что $AA_1 \perp BC$, следовательно, этот угол равен $90°$. Таким образом, грань $BCC_1B_1$ является квадратом. $S_{BCC_1B_1} = a \cdot a \cdot \sin(90^\circ) = a^2 \cdot 1 = a^2$.

Теперь сложим площади всех боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{CAA_1C_1} + S_{BCC_1B_1} = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2 \frac{\sqrt{2}}{2} + a^2$.

Упростим выражение:

$S_{бок} = a^2\sqrt{2} + a^2 = a^2(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $a^2(1 + \sqrt{2})$.

16.44. Каждое ребро наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равно $a$, проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$ является центр треугольника $ABC$.

1) Докажите, что грань $BB_1 C_1 C$ является прямоугольником.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1) Докажите, что грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником.

По условию, все ребра призмы равны $a$. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, а боковые грани $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$ и $CC_1A_1A$ являются ромбами со стороной $a$.

Чтобы доказать, что ромб $BB_1C_1C$ является прямоугольником, достаточно доказать, что один из его углов прямой, например, $\angle CBB_1 = 90^\circ$. Это эквивалентно доказательству того, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру основания $BC$.

Поскольку боковые ребра призмы параллельны, то $BB_1 \parallel AA_1$. Следовательно, задача сводится к доказательству перпендикулярности $AA_1 \perp BC$.

Пусть $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. По условию, проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$ является точка $O$. Это означает, что отрезок $A_1O$ является высотой призмы, и $A_1O \perp (ABC)$.

Рассмотрим наклонную $AA_1$ и ее проекцию $AO$ на плоскость $ABC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ центр $O$ является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Проведем медиану $AM$ к стороне $BC$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, $AM$ также является высотой, то есть $AM \perp BC$. Точка $O$ лежит на отрезке $AM$, следовательно, прямая $AO$ совпадает с прямой $AM$. Таким образом, $AO \perp BC$.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. У нас есть:

• $A_1O$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$.
• $AA_1$ - наклонная.
• $AO$ - проекция наклонной $AA_1$ на плоскость $ABC$.
• $BC$ - прямая в плоскости $ABC$.

Так как проекция $AO$ перпендикулярна прямой $BC$, то и сама наклонная $AA_1$ перпендикулярна прямой $BC$.

Итак, мы доказали, что $AA_1 \perp BC$. Поскольку $BB_1 \parallel AA_1$, то и $BB_1 \perp BC$.

Следовательно, в ромбе $BB_1C_1C$ угол $\angle CBB_1 = 90^\circ$. Ромб с прямым углом является квадратом, а квадрат является частным случаем прямоугольника. Таким образом, грань $BB_1C_1C$ является прямоугольником (и даже квадратом).

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{BB_1C_1C} + S_{CC_1A_1A}$.

1. Найдем площадь грани $BB_1C_1C$. Как мы доказали в пункте 1, эта грань является квадратом со стороной $a$. $S_{BB_1C_1C} = a^2$.

2. Найдем площади граней $AA_1B_1B$ и $CC_1A_1A$. Эти грани являются ромбами со стороной $a$. В силу симметрии призмы относительно плоскости, проходящей через ребро $AA_1$ и медиану $AM$ основания, эти два ромба равны, а значит, их площади равны. $S_{AA_1B_1B} = S_{CC_1A_1A}$.

Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами. Найдем угол $\angle A_1AB$. Для этого рассмотрим $\triangle A_1AB$. Мы знаем стороны $AA_1=a$ и $AB=a$. Найдем длину третьей стороны $A_1B$.

Рассмотрим $\triangle A_1OB$. Так как $A_1O \perp (ABC)$, то $A_1O$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Значит, $A_1O \perp OB$, и $\triangle A_1OB$ является прямоугольным.

Найдем длины катетов $A_1O$ и $OB$. $OB$ — это радиус описанной окружности около равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Его длина равна $OB = R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $A_1O$ — это высота призмы $H$. Найдем ее из прямоугольного $\triangle A_1OA$. Гипотенуза $AA_1=a$, катет $AO = R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора: $(A_1O)^2 = (AA_1)^2 - (AO)^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. $A_1O = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь из прямоугольного $\triangle A_1OB$ по теореме Пифагора найдем гипотенузу $A_1B$: $(A_1B)^2 = (A_1O)^2 + (OB)^2 = \frac{2a^2}{3} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{2a^2}{3} + \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2}{3} = a^2$. Отсюда $A_1B = a$.

Получается, что в $\triangle A_1AB$ все три стороны равны $a$: $AA_1=a, AB=a, A_1B=a$. Следовательно, $\triangle A_1AB$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle A_1AB = 60^\circ$.

Теперь можем найти площадь ромба $AA_1B_1B$: $S_{AA_1B_1B} = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$. Площадь $S_{CC_1A_1A}$ такая же.

3. Находим общую площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{BB_1C_1C} + S_{CC_1A_1A} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} + a^2 + a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2 + 2 \cdot (a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}) = a^2 + a^2\sqrt{3} = a^2(1+\sqrt{3})$.

Ответ: $a^2(1+\sqrt{3})$.

16.45. Основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$), боковые грани призмы – квадраты. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $CB_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Направим ось $Ox$ вдоль катета $CA$, ось $Oy$ — вдоль катета $CB$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $CC_1$.

Согласно условию, основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что катеты $AC$ и $BC$ равны. Пусть их длина равна $a$, то есть $AC = BC = a$.

Также по условию боковые грани призмы являются квадратами. В частности, грань $ACC_1A_1$ является квадратом, из чего следует, что высота призмы $CC_1$ равна стороне основания $AC$. Таким образом, высота призмы $h = CC_1 = AC = a$. Это означает, что призма является прямой.

Определим координаты вершин, которые необходимы для нахождения угла между искомыми прямыми $AC_1$ и $CB_1$:

• $C(0, 0, 0)$ — начало координат.
• $A(a, 0, 0)$ — точка на оси $Ox$.
• $B(0, a, 0)$ — точка на оси $Oy$.
• $C_1(0, 0, a)$ — точка на оси $Oz$.
• $B_1(0, a, a)$ — координаты точки $B_1$ получаются смещением точки $B$ на вектор высоты $\vec{CC_1} = (0, 0, a)$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $CB_1$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты этих векторов: $\vec{AC_1}$ и $\vec{CB_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ имеет координаты, равные разности координат его конца и начала:

$\vec{AC_1} = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Аналогично найдем координаты вектора $\vec{CB_1}$:

$\vec{CB_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми можно найти через скалярное произведение их направляющих векторов по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{CB_1}|}$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2$.

Затем вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|a^2|}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

16.46. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $BEDF$ – параллелограмм.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. Через точку $O$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Рассмотрим четырёхугольник $BEDF$.

Для доказательства того, что $BEDF$ является параллелограммом, используем один из его признаков: если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Диагоналями четырёхугольника $BEDF$ являются отрезки $BD$ и $EF$. По условию задачи, они пересекаются в точке $O$.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, для диагонали $BD$ выполняется равенство $BO = DO$. Таким образом, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

2. Теперь докажем, что точка $O$ также является серединой диагонали $EF$, то есть $EO = FO$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle BOE$ и $\triangle DOF$.

В этих треугольниках:
- $BO = DO$, так как диагонали параллелограмма $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам.
- $\angle EBO = \angle FDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
- $\angle BOE = \angle DOF$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle BOE = \triangle DOF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $EO = FO$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $EF$.

Поскольку диагонали $BD$ и $EF$ четырёхугольника $BEDF$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($BO=DO$ и $EO=FO$), то четырёхугольник $BEDF$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Четырёхугольник $BEDF$ является параллелограммом, так как его диагонали $BD$ и $EF$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

16.47. Большая диагональ ромба равна $d$, а его острый угол равен $\alpha$. Найдите:

1) сторону ромба;

2) меньшую диагональ ромба;

3) площадь ромба;

4) радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть $a$ — сторона ромба, $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. По условию, острый угол ромба равен $\alpha$, а большая диагональ равна $d$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Большая диагональ $d_1 = d$ лежит против тупого угла ($180^\circ - \alpha$), а меньшая диагональ $d_2$ — против острого угла $\alpha$. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — половины диагоналей, то есть $d/2$ и $d_2/2$. Углы этого треугольника, прилежащие к гипотенузе, равны $\alpha/2$ и $(180^\circ - \alpha)/2 = 90^\circ - \alpha/2$. Катет $d/2$ является прилежащим к углу $\alpha/2$.

1) сторону ромба;

В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, косинус половины острого угла равен отношению прилежащего катета (половины большей диагонали) к гипотенузе (стороне ромба):
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{a}$
Выразим отсюда сторону $a$:
$a = \frac{d/2}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: $\frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

2) меньшую диагональ ромба;

В том же прямоугольном треугольнике тангенс половины острого угла равен отношению противолежащего катета (половины меньшей диагонали $d_2$) к прилежащему катету (половине большей диагонали $d$):
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_2/2}{d/2} = \frac{d_2}{d}$
Выразим отсюда меньшую диагональ $d_2$:
$d_2 = d \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: $d \tan(\frac{\alpha}{2})$

3) площадь ромба;

Площадь ромба $S$ равна половине произведения его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим известные значения $d_1 = d$ и $d_2 = d \tan(\frac{\alpha}{2})$:
$S = \frac{1}{2} d \cdot (d \tan(\frac{\alpha}{2})) = \frac{1}{2} d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: $\frac{1}{2} d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$

4) радиус окружности, вписанной в ромб.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты $h$. Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot h$.
Отсюда $h = \frac{S}{a}$, а радиус $r = \frac{h}{2} = \frac{S}{2a}$.
Подставим найденные ранее выражения для площади $S$ и стороны $a$:
$r = \frac{\frac{1}{2} d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{\frac{1}{2} d^2 \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}}$
Упростим выражение:
$r = \frac{d^2 \sin(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{d} = \frac{d \sin(\frac{\alpha}{2})}{2}$
Ответ: $\frac{d \sin(\frac{\alpha}{2})}{2}$