Страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.32. Вычислите площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, диагональ которой равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Диагональ призмы, её высота и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали призмы к плоскости основания является углом между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания.

Пусть $D$ — диагональ призмы, $H$ — её высота, $d$ — диагональ квадратного основания. По условию, $D = 12$ см, а угол между $D$ и $d$ равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$ (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и диагональю основания $d$ (катет). Используя тригонометрические соотношения, найдём $H$ и $d$:

Высота призмы:

$H = D \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Диагональ основания:

$d = D \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдём площадь основания.

Основание — квадрат. Площадь квадрата можно найти через его диагональ $d$:

$S_{осн} = \frac{d^2}{2} = \frac{(6\sqrt{3})^2}{2} = \frac{36 \cdot 3}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см$^2$.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$. Сначала найдём сторону основания $a$. Для квадрата $d = a\sqrt{2}$, откуда:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.

Периметр основания:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 3\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 12\sqrt{6} \cdot 6 = 72\sqrt{6}$ см$^2$.

3. Найдём площадь полной поверхности.

Теперь можем вычислить площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 72\sqrt{6} + 2 \cdot 54 = 72\sqrt{6} + 108$ см$^2$.

Можно вынести общий множитель за скобки:

$S_{полн} = 36(2\sqrt{6} + 3)$ см$^2$.

Ответ: $108 + 72\sqrt{6}$ см$^2$.

16.33. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной призмы равна $S$. Чему равна площадь боковой поверхности призмы?

Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию (призма прямая).

Диагональное сечение представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота призмы $h$ и диагональ основания $d$. Найдём диагональ основания (квадрата со стороной $a$) по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения, по условию равная $S$, вычисляется как произведение его сторон:

$S = d \cdot h = (a\sqrt{2}) \cdot h = ah\sqrt{2}$.

Из этого выражения мы можем выразить произведение стороны основания на высоту:

$ah = \frac{S}{\sqrt{2}}$.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания (квадрата) равен $P = 4a$.

$S_{бок} = P \cdot h = (4a) \cdot h = 4ah$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $ah$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{S}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4S}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S_{бок} = \frac{4S \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4S\sqrt{2}}{2} = 2S\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}S$.

16.34. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани – 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Дано:

Правильная четырёхугольная призма.

Диагональ призмы $D = 5$ см.

Диагональ боковой грани $d_{бок} = 4$ см.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ — её высота (длина бокового ребра).

Так как призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками.

Рассмотрим боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Его диагональ $d_{бок}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$ и $h$. По теореме Пифагора:

$a^2 + h^2 = d_{бок}^2$

$a^2 + h^2 = 4^2$

$a^2 + h^2 = 16$ (1)

Теперь рассмотрим диагональ призмы $D$. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений ($a$, $a$ и $h$).

$D^2 = a^2 + a^2 + h^2$

$D^2 = 2a^2 + h^2$

Подставим известное значение $D=5$ см:

$5^2 = 2a^2 + h^2$

$25 = 2a^2 + h^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($a^2$ и $h^2$):

$\begin{cases} a^2 + h^2 = 16 \\ 2a^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 25 - 16$

$a^2 = 9$

Отсюда находим сторону основания: $a = \sqrt{9} = 3$ см.

Подставим значение $a^2 = 9$ в первое уравнение, чтобы найти высоту $h$:

$9 + h^2 = 16$

$h^2 = 16 - 9 = 7$

Отсюда находим высоту: $h = \sqrt{7}$ см.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Площадь основания $S_{осн}$ — это площадь квадрата со стороной $a=3$ см:

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей четырёх одинаковых прямоугольных граней со сторонами $a=3$ см и $h=\sqrt{7}$ см. Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4a) \cdot h = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7}$ см$^2$.

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9 + 12\sqrt{7} = 18 + 12\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $18 + 12\sqrt{7}$ см$^2$.

16.35. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является равнобокая трапеция $ABCD$, основания которой $BC$ и $AD$ соответственно равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см. Площадь диагонального сечения призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности призмы;

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$.

1) площадь боковой поверхности призмы
Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.
Основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=11$ см, $AD=21$ см и боковыми сторонами $AB=CD=13$ см. Найдем периметр основания:
$P_{осн} = AD + BC + AB + CD = 21 + 11 + 13 + 13 = 58$ см.
Чтобы найти высоту призмы $h$, воспользуемся данными о площади диагонального сечения. Диагональное сечение, например $ACC_1A_1$, является прямоугольником, и его площадь равна $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h$. По условию $S_{ACC_1A_1} = 180$ см². Для нахождения $h$ сначала вычислим длину диагонали основания $AC$.
Проведем в трапеции $ABCD$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = 5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $CH$:
$CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Длина катета $AH$ равна $AD - HD = 21 - 5 = 16$ см. По теореме Пифагора найдем длину диагонали $AC$:
$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.
Зная длину диагонали $AC$, найдем высоту призмы $h$:
$h = \frac{S_{ACC_1A_1}}{AC} = \frac{180}{20} = 9$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 58 \cdot 9 = 522$ см².
Ответ: 522 см².

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$
Сечение, проходящее через параллельные рёбра $AD$ и $B_1C_1$, является трапецией $AB_1C_1D$. Основания этой трапеции — $AD=21$ см и $B_1C_1 = BC = 11$ см.
Для нахождения площади этой трапеции нужно найти её высоту. Высотой трапеции $AB_1C_1D$ является отрезок, соединяющий середины её оснований. Обозначим $M$ — середину $AD$, а $N_1$ — середину $B_1C_1$. Тогда высота сечения $h_{сеч} = MN_1$.
Чтобы найти длину $MN_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $MNN_1$, где $N$ — середина ребра $BC$. Отрезок $MN$ соединяет середины оснований трапеции $ABCD$ и, следовательно, является её высотой. Из пункта 1 известно, что высота трапеции $ABCD$ равна 12 см, то есть $MN = 12$ см.
Отрезок $NN_1$ соединяет середины параллельных рёбер $BC$ и $B_1C_1$. Его длина равна высоте призмы $h$. Из пункта 1 известно, что $h = 9$ см, то есть $NN_1 = 9$ см.
Поскольку призма прямая, её боковое ребро $NN_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и отрезку $MN$, лежащему в этой плоскости. Таким образом, треугольник $MNN_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MN_1$, которая и является высотой сечения $AB_1C_1D$:
$h_{сеч} = MN_1 = \sqrt{MN^2 + NN_1^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь вычислим площадь трапеции-сечения $AB_1C_1D$ по формуле:
$S_{сеч} = \frac{AD + B_1C_1}{2} \cdot h_{сеч} = \frac{21 + 11}{2} \cdot 15 = \frac{32}{2} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$ см².
Ответ: 240 см².

16.36. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности – $288 \text{ см}^2$. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота.

Поскольку призма правильная, ее боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $h$. По теореме Пифагора:$a^2 + h^2 = d^2$Согласно условию, диагональ боковой грани равна 10 см ($d=10$), поэтому мы получаем первое уравнение:$a^2 + h^2 = 10^2$$a^2 + h^2 = 100$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной шестиугольной призмы состоит из шести одинаковых прямоугольных граней. Площадь одной такой грани равна $a \cdot h$. Следовательно, площадь всей боковой поверхности вычисляется по формуле:$S_{бок} = 6 \cdot a \cdot h$По условию, $S_{бок} = 288$ см², что дает нам второе уравнение:$6ah = 288$$ah = \frac{288}{6}$$ah = 48$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $h$:$\begin{cases} a^2 + h^2 = 100 \\ ah = 48 \end{cases}$

Для решения этой системы выразим $h$ из второго уравнения: $h = \frac{48}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение:$a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100$$a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $a^2$ (мы можем это сделать, так как $a$, будучи длиной стороны, не равно нулю):$a^4 + 2304 = 100a^2$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:$a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $x = a^2$. Так как $a$ — это длина, $a > 0$, и, следовательно, $x > 0$. Уравнение принимает вид:$x^2 - 100x + 2304 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.

Найдем корни для $x$:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Теперь вернемся к переменной $a$ ($a = \sqrt{x}$):1. Если $x = 64$, то $a = \sqrt{64} = 8$ см.Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{8} = 6$ см.

2. Если $x = 36$, то $a = \sqrt{36} = 6$ см.Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{6} = 8$ см.

Задача имеет два возможных решения, которые симметричны относительно стороны основания и высоты.

Ответ: сторона основания равна 8 см, а высота призмы 6 см; или сторона основания равна 6 см, а высота призмы 8 см.

16.37. Плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярны, $AA_1 = 9$ см. Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 8 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ – 15 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение — это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. Пусть $A'B'C'$ — перпендикулярное сечение данной призмы, построенное так, что его плоскость перпендикулярна боковому ребру $AA_1$ (и, следовательно, всем остальным боковым рёбрам). Вершины $A'$, $B'$, $C'$ лежат на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ соответственно.

Длины сторон перпендикулярного сечения равны расстояниям между соответствующими боковыми рёбрами.Расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$ — это длина их общего перпендикуляра. Так как отрезок $A'B'$ лежит в плоскости, перпендикулярной этим прямым, и соединяет их, его длина равна заданному расстоянию. Таким образом, $A'B' = 8$ см.

Аналогично, расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка $A'C'$. Таким образом, $A'C' = 15$ см.

По условию, плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ перпендикулярны. Линия их пересечения — боковое ребро $AA_1$. Угол между этими плоскостями равен углу между двумя прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно к линии пересечения $AA_1$ в одной точке. Отрезки $A'B'$ и $A'C'$ перпендикулярны ребру $AA_1$ в точке $A'$. Следовательно, угол между ними равен углу между плоскостями граней, то есть $\angle B'A'C' = 90^\circ$.

Это означает, что перпендикулярное сечение $A'B'C'$ является прямоугольным треугольником с катетами $A'B' = 8$ см и $A'C' = 15$ см.

Найдем гипотенузу $B'C'$ этого треугольника по теореме Пифагора:$(B'C')^2 = (A'B')^2 + (A'C')^2$$(B'C')^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$B'C' = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь мы можем найти периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:$P_{\perp} = A'B' + A'C' + B'C' = 8 + 15 + 17 = 40$ см.

Длина бокового ребра дана по условию: $l = AA_1 = 9$ см.Вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 40 \cdot 9 = 360$ см$^2$.

Ответ: 360 см$^2$.

16.38. Двугранный угол при одном из боковых рёбер наклонной треугольной призмы равен 120°. Расстояние от данного ребра до одного из остальных боковых рёбер равно 16 см, а до другого – 14 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности равна 840 см².

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ – это длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение – это многоугольник, который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В нашем случае это треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между боковыми рёбрами, а его углы равны соответствующим двугранным углам при этих рёбрах.

Согласно условию, мы имеем перпендикулярное сечение в виде треугольника, у которого две стороны равны $a = 16$ см и $b = 14$ см (расстояния от одного ребра до двух других), а угол между ними равен $\alpha = 120°$ (двугранный угол при этом ребре).

Для нахождения периметра этого треугольника необходимо сначала найти длину его третьей стороны, $c$. Воспользуемся для этого теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу. Учитывая, что $\cos(120°) = -0.5$: $c^2 = 16^2 + 14^2 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot (-0.5)$ $c^2 = 256 + 196 + 224$ $c^2 = 676$ $c = \sqrt{676} = 26$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$: $P_{\perp} = a + b + c = 16 + 14 + 26 = 56$ см.

Площадь боковой поверхности призмы по условию равна $S_{бок} = 840$ см². Используя исходную формулу, найдём длину бокового ребра $l$: $l = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}}$ $l = \frac{840}{56} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

16.39. Высота правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 6 см. Точки $D$ и $E$ – середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость, которая проходит через прямые $AB$ и $DE$, образует угол $60^\circ$ с плоскостью $ABC$. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная треугольная призма. Это означает, что её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Высота призмы $H = AA_1 = 6$ см.

Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. По свойству средней линии, $DE$ параллельна стороне $A_1B_1$ и равна её половине: $DE \parallel A_1B_1$ и $DE = \frac{1}{2}A_1B_1$.

В прямой призме рёбра $A_1B_1$ и $AB$ параллельны и равны. Из этого следует, что $DE \parallel AB$. Плоскость сечения проходит через две параллельные прямые $AB$ и $DE$. Такое сечение является трапецией $ABED$. Поскольку призма правильная, треугольники в основаниях равносторонние, и боковые грани — равные прямоугольники. Отсюда следует, что боковые стороны трапеции $AD$ и $BE$ равны, то есть трапеция $ABED$ — равнобедренная.

Найдём сторону основания призмы. Угол между плоскостью сечения $(ABED)$ и плоскостью основания $(ABC)$ по условию равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$. Для измерения двугранного угла построим его линейный угол.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ также является высотой, поэтому $CM \perp AB$.Пусть $K$ — середина отрезка $DE$. Так как трапеция $ABED$ равнобедренная, отрезок $MK$, соединяющий середины оснований, является её высотой, то есть $MK \perp AB$.Таким образом, угол $\angle KMC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABED)$ и $(ABC)$, и по условию $\angle KMC = 60^\circ$.

Рассмотрим проекцию отрезка $MK$ на плоскость основания $(ABC)$. Проекцией точки $M$ является сама точка $M$. Найдём проекцию точки $K$. Точка $K$ — середина $DE$. Проекцией отрезка $DE$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $D_0E_0$, где $D_0$ — середина $AC$ и $E_0$ — середина $BC$. $D_0E_0$ — средняя линия треугольника $ABC$. Проекцией точки $K$ является точка $P$ — середина отрезка $D_0E_0$. Точка $P$ лежит на медиане $CM$ и делит её пополам, так как $D_0E_0$ — средняя линия, параллельная $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKP$, где $P$ — проекция $K$ на плоскость $(ABC)$. Катет $KP$ равен высоте призмы, $KP = H = 6$ см. Угол $\angle KMP$ и есть искомый линейный угол, $\angle KMP = \angle KMC = 60^\circ$.Из треугольника $MKP$ находим длину $MP$:$tg(\angle KMP) = \frac{KP}{MP} \implies MP = \frac{KP}{tg(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Пусть сторона основания призмы равна $a$. Тогда длина медианы $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Точка $P$ — середина $CM$, поэтому $MP = \frac{1}{2}CM = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.Приравнивая полученные выражения для $MP$, находим $a$:$\frac{a\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \implies a = 8$ см.

Теперь найдём площадь сечения — трапеции $ABED$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1, b_2$ — основания, а $h$ — высота.Основания трапеции: $AB = a = 8$ см.$DE = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.Высота трапеции — это отрезок $MK$. Из прямоугольного треугольника $MKP$:$\sin(\angle KMP) = \frac{KP}{MK} \implies MK = \frac{KP}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычисляем площадь сечения:$S_{ABED} = \frac{AB + DE}{2} \cdot MK = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

Альтернативный способ (через площадь проекции):Площадь сечения $S$ и площадь его ортогональной проекции $S_{пр}$ связаны формулой $S_{пр} = S \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между плоскостями.Проекцией сечения $ABED$ на основание $ABC$ является трапеция $ABD_0E_0$.Основания проекции: $AB = a = 8$ см, $D_0E_0 = \frac{1}{2}AB = 4$ см.Высота проекции: $MP = 2\sqrt{3}$ см.Площадь проекции: $S_{пр} = \frac{AB + D_0E_0}{2} \cdot MP = \frac{8+4}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².Площадь сечения: $S = \frac{S_{пр}}{\cos(60^\circ)} = \frac{12\sqrt{3}}{1/2} = 24\sqrt{3}$ см².Результаты совпадают.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см².

16.40. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $4\sqrt{2}$ см, а высота призмы – 6 см. Через диагональ основания проведено сечение призмы, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$, а боковые рёбра перпендикулярны основанию.

Из условия задачи известны:
- Сторона основания $a = AB = 4\sqrt{2}$ см.
- Высота призмы $h = AA_1 = 6$ см.

Сечение проходит через диагональ основания. Выберем диагональ $AC$ нижнего основания $ABCD$.

Плоскость сечения параллельна диагонали призмы. Диагонали призмы, не пересекающие прямую $AC$, это $BD_1$ и $DB_1$. Для построения сечения выберем диагональ $BD_1$.

1. Построение сечения

Плоскость сечения $\alpha$ должна содержать прямую $AC$ и быть параллельна прямой $BD_1$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Точка $O$ является серединой отрезка $BD$.
Рассмотрим диагональную плоскость $BDD_1B_1$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $BD_1$, она пересекает плоскость $BDD_1B_1$ по прямой, параллельной $BD_1$. Поскольку точка $O$ принадлежит обеим плоскостям (так как $O \in AC \subset \alpha$), эта линия пересечения проходит через $O$.
Проведём в плоскости $BDD_1B_1$ через точку $O$ прямую, параллельную $BD_1$. Пусть $M$ — точка пересечения этой прямой с ребром $DD_1$. В треугольнике $BDD_1$ отрезок $OM$ является средней линией, поскольку он проходит через середину стороны $BD$ параллельно стороне $BD_1$. Следовательно, точка $M$ — середина ребра $DD_1$.
Высота точки $M$ над основанием равна $DM = \frac{1}{2} DD_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Таким образом, плоскость сечения проходит через точки $A$, $C$ и $M$. Искомое сечение — это треугольник $ACM$.

2. Нахождение площади сечения

Для вычисления площади треугольника $ACM$ найдём длины его сторон.
- Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=4\sqrt{2}$ см.
$AC = a \sqrt{2} = (4\sqrt{2})\sqrt{2} = 8$ см.
- Сторону $AM$ найдём из прямоугольного треугольника $ADM$. Так как призма правильная, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\angle ADM = 90^\circ$.
По теореме Пифагора:
$AM^2 = AD^2 + DM^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 = 32 + 9 = 41$.
$AM = \sqrt{41}$ см.
- Аналогично, из прямоугольного треугольника $CDM$ ($\angle CDM = 90^\circ$):
$CM^2 = CD^2 + DM^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 = 32 + 9 = 41$.
$CM = \sqrt{41}$ см.
Получили, что сечение — это равнобедренный треугольник $ACM$ с основанием $AC=8$ см и боковыми сторонами $AM = CM = \sqrt{41}$ см.
Для нахождения площади этого треугольника проведём высоту $MO$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому точка $O$ — середина $AC$.
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Из прямоугольного треугольника $AOM$ по теореме Пифагора найдём высоту $MO$:
$MO^2 = AM^2 - AO^2 = (\sqrt{41})^2 - 4^2 = 41 - 16 = 25$.
$MO = \sqrt{25} = 5$ см.
Площадь треугольника $ACM$ равна:
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см$^2$.

Ответ: $20$ см$^2$.

16.41. Высота правильной четырёхугольной призмы равна $h$. В двух соседних боковых гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали, если угол между ними равен $\alpha$.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, высота которой равна $h$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$. Обозначим сторону основания через $a$, то есть $AB = BC = a$. Боковые рёбра перпендикулярны основанию, и их длина равна $h$, например, $BB_1 = h$.

Рассмотрим две соседние боковые грани, например, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$. В этих гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Пусть этим общим концом является вершина $B_1$. Тогда речь идёт о диагоналях $AB_1$ и $CB_1$.

Сечение, проходящее через эти две диагонали, является треугольником $AB_1C$. По условию, угол между диагоналями равен $\alpha$, то есть $\angle AB_1C = \alpha$.

Площадь этого треугольника (сечения) можно найти по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\angle AB_1C) = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\alpha)$.

Длины диагоналей боковых граней $AB_1$ и $CB_1$ можно найти по теореме Пифагора. Боковые грани являются прямоугольниками со сторонами $a$ и $h$.Из прямоугольного треугольника $ABB_1$:$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.Из прямоугольного треугольника $CBB_1$:$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.Следовательно, $AB_1 = CB_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$. Треугольник $AB_1C$ — равнобедренный.

Подставим длины сторон в формулу площади сечения:$S = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{a^2 + h^2}) \cdot (\sqrt{a^2 + h^2}) \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(a^2 + h^2)\sin(\alpha)$.

Для нахождения площади нам нужно выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\alpha$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AB_1C$. Найдём квадрат длины третьей стороны $AC$. $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$, поэтому из прямоугольного треугольника $ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

По теореме косинусов для треугольника $AB_1C$:$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos(\angle AB_1C)$.Подставляя найденные выражения, получаем:$2a^2 = (a^2 + h^2) + (a^2 + h^2) - 2 \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2) - 2(a^2 + h^2)\cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.$a^2 = (a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.

Из этого уравнения нам нужно найти выражение для $a^2 + h^2$. Раскроем скобки:$a^2 = a^2 - a^2\cos(\alpha) + h^2 - h^2\cos(\alpha)$.$0 = - a^2\cos(\alpha) + h^2(1 - \cos(\alpha))$.$a^2\cos(\alpha) = h^2(1 - \cos(\alpha))$.$a^2 = \frac{h^2(1 - \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)}$.Теперь найдем сумму $a^2+h^2$:$a^2 + h^2 = \frac{h^2(1 - \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)} + h^2 = \frac{h^2 - h^2\cos(\alpha) + h^2\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h^2}{\cos(\alpha)}$.

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади сечения:$S = \frac{1}{2}(a^2 + h^2)\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h^2}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)$.$S = \frac{h^2}{2} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h^2}{2}\tan(\alpha)$.

Ответ: $S = \frac{h^2}{2}\tan(\alpha)$.

16.42. Высота правильной треугольной призмы равна $h$. Угол между диагоналями двух боковых граней, имеющими общий конец, равен $\alpha$. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является правильный треугольник $ABC$, а высота призмы равна $h$. Обозначим сторону основания как $a$, то есть $AB = BC = AC = a$.

Рассмотрим две смежные боковые грани, например, $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$, которые являются прямоугольниками. Диагонали этих граней, имеющие общий конец, например, в вершине $A_1$, это $A_1B$ и $A_1C$. По условию, угол между этими диагоналями $\angle BA_1C = \alpha$.

Сечение, проходящее через данные диагонали, является треугольником $A_1BC$. Требуется найти его площадь $S$.

Площадь треугольника $A_1BC$ можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2} |A_1B| \cdot |A_1C| \sin(\angle BA_1C) = \frac{1}{2} |A_1B| \cdot |A_1C| \sin(\alpha)$

Найдем длины диагоналей. В прямоугольном треугольнике $A_1AB$ (с прямым углом при вершине $A$), по теореме Пифагора:

$|A_1B|^2 = |AA_1|^2 + |AB|^2 = h^2 + a^2$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $A_1AC$:

$|A_1C|^2 = |AA_1|^2 + |AC|^2 = h^2 + a^2$

Отсюда следует, что $|A_1B| = |A_1C| = \sqrt{h^2 + a^2}$, и треугольник сечения $A_1BC$ является равнобедренным.

Подставим найденные длины в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} (\sqrt{h^2 + a^2}) \cdot (\sqrt{h^2 + a^2}) \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(h^2 + a^2)\sin(\alpha)$

Для того чтобы найти площадь, необходимо выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\alpha$. Рассмотрим треугольник $A_1BC$. Применим к нему теорему косинусов:

$|BC|^2 = |A_1B|^2 + |A_1C|^2 - 2|A_1B||A_1C|\cos(\alpha)$

Подставим известные выражения для сторон:

$a^2 = (h^2 + a^2) + (h^2 + a^2) - 2(\sqrt{h^2 + a^2})(\sqrt{h^2 + a^2})\cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2) - 2(h^2 + a^2)\cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2)(1 - \cos(\alpha))$

Решим это уравнение относительно $a^2$:

$a^2 = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) + 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 - 2a^2(1 - \cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(1 - 2 + 2\cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(2\cos(\alpha) - 1) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 = \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1}$

Теперь найдем выражение для $(h^2 + a^2)$, входящее в формулу площади:

$h^2 + a^2 = h^2 + \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} = h^2\left(1 + \frac{2 - 2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha) - 1}\right)$

$h^2 + a^2 = h^2\left(\frac{2\cos(\alpha) - 1 + 2 - 2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha) - 1}\right) = h^2\left(\frac{1}{2\cos(\alpha) - 1}\right) = \frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1}$

Наконец, подставим полученное выражение в формулу площади сечения:

$S = \frac{1}{2}(h^2 + a^2)\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1}\right) \cdot \sin(\alpha) = \frac{h^2\sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$

Ответ: $\frac{h^2\sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$.