Номер 40, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 40, страница 156.

Условие.

16.40. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $4\sqrt{2}$ см, а высота призмы – 6 см. Через диагональ основания проведено сечение призмы, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$, а боковые рёбра перпендикулярны основанию.

Из условия задачи известны:
- Сторона основания $a = AB = 4\sqrt{2}$ см.
- Высота призмы $h = AA_1 = 6$ см.

Сечение проходит через диагональ основания. Выберем диагональ $AC$ нижнего основания $ABCD$.

Плоскость сечения параллельна диагонали призмы. Диагонали призмы, не пересекающие прямую $AC$, это $BD_1$ и $DB_1$. Для построения сечения выберем диагональ $BD_1$.

1. Построение сечения

Плоскость сечения $\alpha$ должна содержать прямую $AC$ и быть параллельна прямой $BD_1$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Точка $O$ является серединой отрезка $BD$.
Рассмотрим диагональную плоскость $BDD_1B_1$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $BD_1$, она пересекает плоскость $BDD_1B_1$ по прямой, параллельной $BD_1$. Поскольку точка $O$ принадлежит обеим плоскостям (так как $O \in AC \subset \alpha$), эта линия пересечения проходит через $O$.
Проведём в плоскости $BDD_1B_1$ через точку $O$ прямую, параллельную $BD_1$. Пусть $M$ — точка пересечения этой прямой с ребром $DD_1$. В треугольнике $BDD_1$ отрезок $OM$ является средней линией, поскольку он проходит через середину стороны $BD$ параллельно стороне $BD_1$. Следовательно, точка $M$ — середина ребра $DD_1$.
Высота точки $M$ над основанием равна $DM = \frac{1}{2} DD_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Таким образом, плоскость сечения проходит через точки $A$, $C$ и $M$. Искомое сечение — это треугольник $ACM$.

2. Нахождение площади сечения

Для вычисления площади треугольника $ACM$ найдём длины его сторон.
- Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=4\sqrt{2}$ см.
$AC = a \sqrt{2} = (4\sqrt{2})\sqrt{2} = 8$ см.
- Сторону $AM$ найдём из прямоугольного треугольника $ADM$. Так как призма правильная, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\angle ADM = 90^\circ$.
По теореме Пифагора:
$AM^2 = AD^2 + DM^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 = 32 + 9 = 41$.
$AM = \sqrt{41}$ см.
- Аналогично, из прямоугольного треугольника $CDM$ ($\angle CDM = 90^\circ$):
$CM^2 = CD^2 + DM^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 = 32 + 9 = 41$.
$CM = \sqrt{41}$ см.
Получили, что сечение — это равнобедренный треугольник $ACM$ с основанием $AC=8$ см и боковыми сторонами $AM = CM = \sqrt{41}$ см.
Для нахождения площади этого треугольника проведём высоту $MO$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому точка $O$ — середина $AC$.
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Из прямоугольного треугольника $AOM$ по теореме Пифагора найдём высоту $MO$:
$MO^2 = AM^2 - AO^2 = (\sqrt{41})^2 - 4^2 = 41 - 16 = 25$.
$MO = \sqrt{25} = 5$ см.
Площадь треугольника $ACM$ равна:
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см$^2$.

Ответ: $20$ см$^2$.