Номер 38, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 38, страница 156.

Условие.

16.38. Двугранный угол при одном из боковых рёбер наклонной треугольной призмы равен 120°. Расстояние от данного ребра до одного из остальных боковых рёбер равно 16 см, а до другого – 14 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности равна 840 см².

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ – это длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение – это многоугольник, который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В нашем случае это треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между боковыми рёбрами, а его углы равны соответствующим двугранным углам при этих рёбрах.

Согласно условию, мы имеем перпендикулярное сечение в виде треугольника, у которого две стороны равны $a = 16$ см и $b = 14$ см (расстояния от одного ребра до двух других), а угол между ними равен $\alpha = 120°$ (двугранный угол при этом ребре).

Для нахождения периметра этого треугольника необходимо сначала найти длину его третьей стороны, $c$. Воспользуемся для этого теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу. Учитывая, что $\cos(120°) = -0.5$: $c^2 = 16^2 + 14^2 - 2 \cdot 16 \cdot 14 \cdot (-0.5)$ $c^2 = 256 + 196 + 224$ $c^2 = 676$ $c = \sqrt{676} = 26$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$: $P_{\perp} = a + b + c = 16 + 14 + 26 = 56$ см.

Площадь боковой поверхности призмы по условию равна $S_{бок} = 840$ см². Используя исходную формулу, найдём длину бокового ребра $l$: $l = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}}$ $l = \frac{840}{56} = 15$ см.

Ответ: 15 см.