Номер 39, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 39, страница 156.

Условие.

16.39. Высота правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 6 см. Точки $D$ и $E$ – середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость, которая проходит через прямые $AB$ и $DE$, образует угол $60^\circ$ с плоскостью $ABC$. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная треугольная призма. Это означает, что её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Высота призмы $H = AA_1 = 6$ см.

Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. По свойству средней линии, $DE$ параллельна стороне $A_1B_1$ и равна её половине: $DE \parallel A_1B_1$ и $DE = \frac{1}{2}A_1B_1$.

В прямой призме рёбра $A_1B_1$ и $AB$ параллельны и равны. Из этого следует, что $DE \parallel AB$. Плоскость сечения проходит через две параллельные прямые $AB$ и $DE$. Такое сечение является трапецией $ABED$. Поскольку призма правильная, треугольники в основаниях равносторонние, и боковые грани — равные прямоугольники. Отсюда следует, что боковые стороны трапеции $AD$ и $BE$ равны, то есть трапеция $ABED$ — равнобедренная.

Найдём сторону основания призмы. Угол между плоскостью сечения $(ABED)$ и плоскостью основания $(ABC)$ по условию равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$. Для измерения двугранного угла построим его линейный угол.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ также является высотой, поэтому $CM \perp AB$.Пусть $K$ — середина отрезка $DE$. Так как трапеция $ABED$ равнобедренная, отрезок $MK$, соединяющий середины оснований, является её высотой, то есть $MK \perp AB$.Таким образом, угол $\angle KMC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABED)$ и $(ABC)$, и по условию $\angle KMC = 60^\circ$.

Рассмотрим проекцию отрезка $MK$ на плоскость основания $(ABC)$. Проекцией точки $M$ является сама точка $M$. Найдём проекцию точки $K$. Точка $K$ — середина $DE$. Проекцией отрезка $DE$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $D_0E_0$, где $D_0$ — середина $AC$ и $E_0$ — середина $BC$. $D_0E_0$ — средняя линия треугольника $ABC$. Проекцией точки $K$ является точка $P$ — середина отрезка $D_0E_0$. Точка $P$ лежит на медиане $CM$ и делит её пополам, так как $D_0E_0$ — средняя линия, параллельная $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKP$, где $P$ — проекция $K$ на плоскость $(ABC)$. Катет $KP$ равен высоте призмы, $KP = H = 6$ см. Угол $\angle KMP$ и есть искомый линейный угол, $\angle KMP = \angle KMC = 60^\circ$.Из треугольника $MKP$ находим длину $MP$:$tg(\angle KMP) = \frac{KP}{MP} \implies MP = \frac{KP}{tg(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Пусть сторона основания призмы равна $a$. Тогда длина медианы $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Точка $P$ — середина $CM$, поэтому $MP = \frac{1}{2}CM = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.Приравнивая полученные выражения для $MP$, находим $a$:$\frac{a\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \implies a = 8$ см.

Теперь найдём площадь сечения — трапеции $ABED$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1, b_2$ — основания, а $h$ — высота.Основания трапеции: $AB = a = 8$ см.$DE = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.Высота трапеции — это отрезок $MK$. Из прямоугольного треугольника $MKP$:$\sin(\angle KMP) = \frac{KP}{MK} \implies MK = \frac{KP}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычисляем площадь сечения:$S_{ABED} = \frac{AB + DE}{2} \cdot MK = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

Альтернативный способ (через площадь проекции):Площадь сечения $S$ и площадь его ортогональной проекции $S_{пр}$ связаны формулой $S_{пр} = S \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между плоскостями.Проекцией сечения $ABED$ на основание $ABC$ является трапеция $ABD_0E_0$.Основания проекции: $AB = a = 8$ см, $D_0E_0 = \frac{1}{2}AB = 4$ см.Высота проекции: $MP = 2\sqrt{3}$ см.Площадь проекции: $S_{пр} = \frac{AB + D_0E_0}{2} \cdot MP = \frac{8+4}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².Площадь сечения: $S = \frac{S_{пр}}{\cos(60^\circ)} = \frac{12\sqrt{3}}{1/2} = 24\sqrt{3}$ см².Результаты совпадают.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см².