Номер 41, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 41, страница 156.

Условие.

16.41. Высота правильной четырёхугольной призмы равна $h$. В двух соседних боковых гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали, если угол между ними равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, высота которой равна $h$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$. Обозначим сторону основания через $a$, то есть $AB = BC = a$. Боковые рёбра перпендикулярны основанию, и их длина равна $h$, например, $BB_1 = h$.

Рассмотрим две соседние боковые грани, например, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$. В этих гранях проведены две диагонали, имеющие общий конец. Пусть этим общим концом является вершина $B_1$. Тогда речь идёт о диагоналях $AB_1$ и $CB_1$.

Сечение, проходящее через эти две диагонали, является треугольником $AB_1C$. По условию, угол между диагоналями равен $\alpha$, то есть $\angle AB_1C = \alpha$.

Площадь этого треугольника (сечения) можно найти по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\angle AB_1C) = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \sin(\alpha)$.

Длины диагоналей боковых граней $AB_1$ и $CB_1$ можно найти по теореме Пифагора. Боковые грани являются прямоугольниками со сторонами $a$ и $h$.Из прямоугольного треугольника $ABB_1$:$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.Из прямоугольного треугольника $CBB_1$:$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = a^2 + h^2$.Следовательно, $AB_1 = CB_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$. Треугольник $AB_1C$ — равнобедренный.

Подставим длины сторон в формулу площади сечения:$S = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{a^2 + h^2}) \cdot (\sqrt{a^2 + h^2}) \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(a^2 + h^2)\sin(\alpha)$.

Для нахождения площади нам нужно выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\alpha$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AB_1C$. Найдём квадрат длины третьей стороны $AC$. $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$, поэтому из прямоугольного треугольника $ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

По теореме косинусов для треугольника $AB_1C$:$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos(\angle AB_1C)$.Подставляя найденные выражения, получаем:$2a^2 = (a^2 + h^2) + (a^2 + h^2) - 2 \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2) - 2(a^2 + h^2)\cos(\alpha)$.$2a^2 = 2(a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.$a^2 = (a^2 + h^2)(1 - \cos(\alpha))$.

Из этого уравнения нам нужно найти выражение для $a^2 + h^2$. Раскроем скобки:$a^2 = a^2 - a^2\cos(\alpha) + h^2 - h^2\cos(\alpha)$.$0 = - a^2\cos(\alpha) + h^2(1 - \cos(\alpha))$.$a^2\cos(\alpha) = h^2(1 - \cos(\alpha))$.$a^2 = \frac{h^2(1 - \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)}$.Теперь найдем сумму $a^2+h^2$:$a^2 + h^2 = \frac{h^2(1 - \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)} + h^2 = \frac{h^2 - h^2\cos(\alpha) + h^2\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h^2}{\cos(\alpha)}$.

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади сечения:$S = \frac{1}{2}(a^2 + h^2)\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h^2}{\cos(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)$.$S = \frac{h^2}{2} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h^2}{2}\tan(\alpha)$.

Ответ: $S = \frac{h^2}{2}\tan(\alpha)$.