Номер 42, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 42, страница 156.

Условие.

16.42. Высота правильной треугольной призмы равна $h$. Угол между диагоналями двух боковых граней, имеющими общий конец, равен $\alpha$. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является правильный треугольник $ABC$, а высота призмы равна $h$. Обозначим сторону основания как $a$, то есть $AB = BC = AC = a$.

Рассмотрим две смежные боковые грани, например, $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$, которые являются прямоугольниками. Диагонали этих граней, имеющие общий конец, например, в вершине $A_1$, это $A_1B$ и $A_1C$. По условию, угол между этими диагоналями $\angle BA_1C = \alpha$.

Сечение, проходящее через данные диагонали, является треугольником $A_1BC$. Требуется найти его площадь $S$.

Площадь треугольника $A_1BC$ можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2} |A_1B| \cdot |A_1C| \sin(\angle BA_1C) = \frac{1}{2} |A_1B| \cdot |A_1C| \sin(\alpha)$

Найдем длины диагоналей. В прямоугольном треугольнике $A_1AB$ (с прямым углом при вершине $A$), по теореме Пифагора:

$|A_1B|^2 = |AA_1|^2 + |AB|^2 = h^2 + a^2$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $A_1AC$:

$|A_1C|^2 = |AA_1|^2 + |AC|^2 = h^2 + a^2$

Отсюда следует, что $|A_1B| = |A_1C| = \sqrt{h^2 + a^2}$, и треугольник сечения $A_1BC$ является равнобедренным.

Подставим найденные длины в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} (\sqrt{h^2 + a^2}) \cdot (\sqrt{h^2 + a^2}) \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(h^2 + a^2)\sin(\alpha)$

Для того чтобы найти площадь, необходимо выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\alpha$. Рассмотрим треугольник $A_1BC$. Применим к нему теорему косинусов:

$|BC|^2 = |A_1B|^2 + |A_1C|^2 - 2|A_1B||A_1C|\cos(\alpha)$

Подставим известные выражения для сторон:

$a^2 = (h^2 + a^2) + (h^2 + a^2) - 2(\sqrt{h^2 + a^2})(\sqrt{h^2 + a^2})\cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2) - 2(h^2 + a^2)\cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2)(1 - \cos(\alpha))$

Решим это уравнение относительно $a^2$:

$a^2 = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) + 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 - 2a^2(1 - \cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(1 - 2 + 2\cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(2\cos(\alpha) - 1) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 = \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1}$

Теперь найдем выражение для $(h^2 + a^2)$, входящее в формулу площади:

$h^2 + a^2 = h^2 + \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} = h^2\left(1 + \frac{2 - 2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha) - 1}\right)$

$h^2 + a^2 = h^2\left(\frac{2\cos(\alpha) - 1 + 2 - 2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha) - 1}\right) = h^2\left(\frac{1}{2\cos(\alpha) - 1}\right) = \frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1}$

Наконец, подставим полученное выражение в формулу площади сечения:

$S = \frac{1}{2}(h^2 + a^2)\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1}\right) \cdot \sin(\alpha) = \frac{h^2\sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$

Ответ: $\frac{h^2\sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$.